【SEP】斯坦尼斯瓦夫·莱希涅夫斯基（四） (3-2)

莱希涅夫斯基在其1929年的文章中提到了几种不同版本的“原论”（Protothetic），其中一种是包含82个符号的单公理版本（索博钦斯基在1945年提出了只有54个符号的单公理版本）。另一个更有趣的想法是上文第8节提到的原论算法或“计算”（computative）系统。这实际上是将真值表的思想形式化的一种方法，但它的应用范围超出了句子的真值函数，而是更复杂的、具有一阶和高阶真值函数参数的函数。莱希涅夫斯基并没有将这一思想发挥到极致，但后来欧文·勒布朗（1991）进一步发展了这一思想。

对于习惯于用简化方法处理命题逻辑的现代逻辑学学生来说，莱希涅夫斯基的“原论”（Protothetic），尤其是其正式版本，一定显得非常繁琐，难以理解和处理。这在一定程度上是由于系统的年代久远，以及莱希涅夫斯基对语义学的厌恶（见上文）。然而，莱希涅夫斯基并不总是如此激烈地展示他的作品。为了日常推导的目的，他采用了一种只能被描述为自然演绎法的系统，按照所有逻辑学学生后来习以为常的方式，提出假设、跟踪其结果、收集结果并推断条件和二条件。令人吃惊的是，他和他的学生都不认为有必要将这些做法编纂成一套规则体系。在卢卡谢维奇的建议下，斯坦尼斯瓦夫·雅伊希科夫斯基（Stanisław Jaśkowski）采用了这一方法。自然演绎法的发现一般归功于其他人，但莱希涅夫斯基有可能比其他人更早使用了它，而且是以公认的现代形式。他之所以没有将其编纂成法典，可能是因为他将其视为一种教学手段和勾勒“适当的”（即公理的）证明过程的一种方式。另一种消除“原论”令人望而却步的方法是寻找更容易理解的公理。下面这个以蕴涵为基元的双公理集（这也是勒斯涅夫斯基研究过的一种选择）相当简单明了；这个结果也是塔尔斯基得到的：

(P3)∀pq┌p→(q→p)┐

(P4)∀pqrf┌f(rp)→(f(r(p→∀s┌s┐))→f(rq))┐

第一个是可以追溯到弗雷格的命题微积分标准公理的普遍闭包。回顾一下，F(alse) 可以定义为 ∀s┌s┐，否定可以定义为 p→ F，那么第二个公理就是：

f(rp)→(f(r~p)→f(rq))

简单地说，对于任意q，如果f（r任意真值），那么f（rq），这显然是正确的。我们可以（繁琐地）检查出，这个结果对于所有16个可替代“f”的二进制扩展真值函数都是有效的。要从这些简单的开端拖出整个“原论”显然要难得多，这取决于能否为连接词找到合适的定义。

在本体论中，莱希涅夫斯基和他的学生，尤其是索博琴斯基，致力于用更短的公理取代1920年“长”的单一公理，最终得出了不可缩短的：

(OS) ∀Aa┌Aεa↔∃B┌AεB∧Bεa┐┐

与最初的1920公理相比，这条公理对“ε”原意的揭示要逊色得多。为了在简洁与清晰之间取得微妙的平衡，下面这组等价的双公理就很清楚了：

(OS1) ∀Ab┌Aεb→AεA┐

(OS2) ∀ABc┌(AεB∧Bεc)→Aεc┐

其中值得注意的第一个公理正是莱希涅夫斯基在1919年向特沃多夫斯基提到的公理。

尽管本体论可能是莱希涅夫斯基的体系中最令人感兴趣的，但在他生前，人们并不是通过他自己出版的著作（仅限于一本简短、技术性强且难以理解的回忆录）来了解他的本体论，而是通过科塔比安斯基1929年出版的、被广泛阅读且影响深远的华沙教科书（简称为《要素》）中温和而富有同情心的阐述来了解他的本体论。柯塔宾斯基解释了他是如何不需要建立一个名称和谓词的逻辑系统的，因为他可以从一家声誉极佳的公司获得现成的系统。莱希涅夫斯基对他的帮助感激不尽。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。