无限Galois理论 (2-2)

H ⊆ Gal(Ω/K) 显然

反过来，任取σ ∈ Gal(Ω/K) ，若 L/K 为 Ω/K 的有限子Galois扩张

则σGal(Ω/L) 为 σ 在 Gal(Ω/K) 中的邻域基

考虑映射g：H → Gal(L/K)

因为g(H) 有固定域 K ，于是等于 Gal(L/K)

映射H → Gal(L/K)满

于是可取τ ∈ H 使得 τ|ʟ＝σ|ʟ ，即 τ ∈ H ∩ σGal(Ω/L)

则σ 属于 H 在 Gal(Ω/K) 中的闭包（ σ 每个邻域基中都有 H 中的点）

于是H ⊇ Gal(Ω/K)

于是K↦Gal(Ω/K) 满

若H 为 Gal(Ω/k) 的开集，则其闭，于是 H＝Gal(Ω/K)

但Gal(Ω/k) 为 H 的开陪集的不交并‬

由于Gal(Ω/k) 紧，存在有限个 H 的开陪集的并等于 Gal(Ω/k)

于是[Gal(Ω/k)：H]＜∞

则[K：k]＜∞

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。