哲学与数学有什么关系（二） (3-1)

（1）集合的概念

王浩在《数哲》中单辟一章讨论了集合的概念，它是王浩知识学研究的一个精华部分，当代著名数学哲学家帕森斯（Charles Parsons）就曾评论说，该章应该被所有寻求对此问题之成熟理解的人当作第一读本（参见邢滔滔《逻辑之旅》译后记）。

王浩著《逻辑之旅：从哥德尔到哲学》

集合的概念是整个现代数学的基础，现代数学的所有概念、理论和方法，都可以在集合论的公理框架内得到解释。但我们对集合的直观概念，一开始并不是清楚的，甚至是有矛盾的。回顾弗雷格和康托有关集合概念的论述，王浩指出，他们分别代表着关于集合的两种不同的直观概念，一个是关于集合的二分式概念，一个是关于集合的迭代概念。前者认为集合是通过将所有事物的总体划分为两个范畴得到的，其标志是接受不加限制的概括原则，即每个属性都能确定一个集合（由满足该属性的所有对象组成）；后者则对集合采取一种“生成式”的理解，认为集合是从一些给定的对象（也可以是空无）出发，通过迭次运用“……的集合”这个运算得到的东西。

弗雷格对集合持二分式理解，这是清楚的，因为他将集合等同于概念的外延，而康托是否已经达到了关于集合的迭代概念，则不是那么清楚。但王浩仔细分析了康托的著作，令人信服地表明了，康托对集合的生成式定义与集合迭代概念极其相符，并且他进而指出，这部分解释了二人对悖论截然不同的反应：对弗雷格而言，悖论意味着集合论的崩溃或破产，而康托则认为，悖论只是表示我们还未正确理解集合的概念。除了康托，王浩还讨论了策梅洛、冯·诺依曼和米利曼诺夫等人关于集合的一些论述，指出他们与康托具有基本相同的集合概念，即集合迭代概念。王浩还细致地说明了，从这样的直观概念出发，我们如何可以核证通行的集合论公理，甚至更多的新公理，而这些新公理或可有助于判定一些独立性问题，如连续统问题。

另外特别值得一提的一点是，王浩区分了关于集合论的一组渐强的观点：存在一种直觉迫使我们接受现有公理；这种直觉能产生更多公理；所产生的新公理有收敛趋势；它们能产生一个唯一的模型并判定连续统假设；集合客观存在并且我们能感知它们（248页）。

这些细致的区分既展示了王浩数学知识学研究的精微奥妙，也与数学哲学中后来的一些著名思想遥相应和。比如，麦蒂（Penelope Maddy）有关数学自主性的论题（该论题的一个主要思想来源即在于对哥德尔的如下解读：哥德尔有关连续统问题有意义性的观点不依赖关于集合存在的本体论观点）和她对数学深刻性（mathematical depth）的强调，都可以说与王浩的这些知识学思想高度相似。

然而令人奇怪的是，后来的那些数学哲学家似乎并没有在这方面给王浩任何credit，这或许是因为，王浩的知识学研究在精神上继承的是传统的数学基础研究，具有浓厚的老派风格，比如，他喜欢按论域大小和方法限度区分各种基础观点，并给出了一个五支分法——严格有穷主义、有穷主义、直觉主义、直谓主义、柏拉图主义——而基本未参与七十年代以来数学哲学中围绕抽象对象和贝纳塞拉夫问题的主流争论。

（2）心灵、大脑与机器

在今天的哲学中讨论心灵与机器，一个著名的主题是现象意识问题，其背后基本的直觉是，无论机器在能力或功能上多么出众，仍然很难设想，它如何可能具有现象意识，即那种私人的、主观的、第一人称性的感受质，如颜色的感受、疼痛的感受等。但王浩对心灵与机器的思考，基本集中于它们在认知能力上的差别。这既是王浩那个时代的一般状况，也与王浩本人的技术性工作有关。不过，相比于许多人热衷于从数理逻辑的结果（如不完全性和不可判定性结果）论证机器绝无可能做什么，王浩同时强调了更具建设性的一面，即如何让计算机做更多的事，从而从他那个时代对人工智能的未来做出了展望。

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