【SEP】数学与哲学直觉主义（一） (11-11)

3.8 描述性集合论、拓扑学和拓扑理论

布劳威尔并不是唯一对某些经典推理形式表示怀疑的人。这在描述性集合论中尤其明显，描述性集合论的出现是对康托尔集合论中出现的高度非结构性概念的反应。这个领域的奠基人，包括Émile Borel和Henri Lebesgue这两个主要人物，被称为半直觉主义者，他们对连续体的建设性处理导致了博莱尔层次的定义。从他们的观点来看，像所有实数集的集合这样的概念是没有意义的，因此必须用一个确实有明确描述的子集的层次结构来代替。

在Veldman 1999中，提出了Borel集概念的直觉等价物，并表明Borel集的经典等价定义会产生各种直觉上不同的类，这种情况在直觉主义中经常发生。对于直觉主义的Borel集，Borel等级定理的类似物在直觉上是有效的。对这一事实的证明基本利用了上面讨论的连续性公理，从而显示了经典数学如何指导寻找直观主义的类似物，然而，这些类似物必须以完全不同的方式来证明，有时使用从经典观点来看不可接受的原则。

另一种研究连续体或一般拓扑空间的子集的方法是通过形式或抽象拓扑学的发展出现的（Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987）。在这种构造性拓扑学中，开放集和点的作用是相反的；在经典拓扑学中，开放集被定义为某个点的集合，在构造性案例中，开放集是基本概念，而点则是以它们为基础定义的。因此，这种方法有时被称为无点拓扑学。

在Brouwer之后，直觉性的函数分析被许多人发展得很远，但由于大多数方法不是严格意义上的直觉性的，也是广义上的构造性的，所以这里将不再讨论这一研究。

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