元数学：复杂度、随机性与不完备（一） (12-5)

这样，你就得到了一个随机性之概念的层次结构：你开始使用的那个概念，然后是下一个概念，然后是由此派生出来的一个概念，以此类推......而其中的每一个概念都是根据前面的随机性定义派生出来的，就像其他可以用来对数字进行分类的特征一样！

波莱尔的结论是，随机性不可能有一个确定的定义。你无法定义一个包罗万象的随机性概念。随机性是一个模糊的概念，它有一些自相矛盾之处，很难把握。这就需要决定我们的要求有多高。你必须决定一个分界线，你必须说 "够了"，让我们把它看作是随机的。

让我尝试用一些图像来解释这一点，这些图像绝对不是出现在我那也许颇为错误的波莱尔忆述中。

当你将随机性的概念固定在脑海中的那一刻，这个心理行为就会使这个概念失效，并创造出一个新的要求更高的随机性概念......所以，把随机性固定在脑海中，就好比你不眨眼、不动眼地盯着某个东西看。如果你这样做了，场景就会开始从你的视野中成片消失。要想看到某样东西，你就必须不断移动你的眼睛，改变你的注意力焦点......

你越努力盯着随机事物，看到的就越少！这就有点像在晚上用望远镜看微弱的物体，你不能直接盯着它们看，而是要把视线移到一旁，这样视网膜的分辨率会更低，对颜色的敏感度也会更低，但你能看到更微弱的物体......

我将归功于波莱尔的这一讨论，实际上包含了我现在要给出的证明的思想萌芽，即你无法证明一个计算机程序是 "优美的"，也就是说，它是具备产生如此输出结果的能力的程序中，最小的一个。更准确地说，如果没有比它更小的程序能产生相同的输出，那么这个程序就是优美的。你看，可能会出现平局，可能会有几个不同的程序具有完全相同的最小可能大小，并产生相同的输出结果。

从理论的角度来看，正如第三章所讨论的那样，一个优美的程序是对其输出的最佳压缩，它是——被视为实验数据的——输出之最简单科学理论。

因此，如果这个计算机程序的输出是整个宇宙，那么它的优美程序就是最优的TOE，最优的万物理论，没有冗余元素的TOE，最好的TOE，莱布尼茨会说，完美的上帝会用它来创造那个特定的宇宙。

为什么不能证明程序 "优美"？

因此，让我们考虑希尔伯特/图灵/后形式公理系统 FAS，它（如第二章所述）对我们来说只是一个生成所有定理的程序。我们假定，这个程序是生成那组特定定理的程序中，最小的一个。因此，这个程序的大小正是该理论之程序大小复杂度（the program-size complexity）。绝对没有冗余！

好了，这就是我们如何通过 FAS 所包含的比特信息的多少加以衡量其威力。正如你现在看到的，这真的很有效，它真的给了我们新的启示。

在上一节讨论的波莱尔悖论的基础上，考虑一下这个计算机程序...

Paradoxical Program P：

The output of P is the same as the output of

the first provably elegant program Q that you encounter (as you generate all the theorems of your chosen FAS) that is larger than P.

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