数学联邦政治世界观
超小超大

元数学:复杂度、随机性与不完备(一) (12-5)

这样,你就得到了一个随机性之概念的层次结构:你开始使用的那个概念,然后是下一个概念,然后是由此派生出来的一个概念,以此类推......而其中的每一个概念都是根据前面的随机性定义派生出来的,就像其他可以用来对数字进行分类的特征一样!

波莱尔的结论是,随机性不可能有一个确定的定义。你无法定义一个包罗万象的随机性概念。随机性是一个模糊的概念,它有一些自相矛盾之处,很难把握。这就需要决定我们的要求有多高。你必须决定一个分界线,你必须说 "够了",让我们把它看作是随机的。

让我尝试用一些图像来解释这一点,这些图像绝对不是出现在我那也许颇为错误的波莱尔忆述中。

当你将随机性的概念固定在脑海中的那一刻,这个心理行为就会使这个概念失效,并创造出一个新的要求更高的随机性概念......所以,把随机性固定在脑海中,就好比你不眨眼、不动眼地盯着某个东西看。如果你这样做了,场景就会开始从你的视野中成片消失。要想看到某样东西,你就必须不断移动你的眼睛,改变你的注意力焦点......

你越努力盯着随机事物,看到的就越少!这就有点像在晚上用望远镜看微弱的物体,你不能直接盯着它们看,而是要把视线移到一旁,这样视网膜的分辨率会更低,对颜色的敏感度也会更低,但你能看到更微弱的物体......

我将归功于波莱尔的这一讨论,实际上包含了我现在要给出的证明的思想萌芽,即你无法证明一个计算机程序是 "优美的",也就是说,它是具备产生如此输出结果的能力的程序中,最小的一个。更准确地说,如果没有比它更小的程序能产生相同的输出,那么这个程序就是优美的。你看,可能会出现平局,可能会有几个不同的程序具有完全相同的最小可能大小,并产生相同的输出结果。

从理论的角度来看,正如第三章所讨论的那样,一个优美的程序是对其输出的最佳压缩,它是——被视为实验数据的——输出之最简单科学理论。

因此,如果这个计算机程序的输出是整个宇宙,那么它的优美程序就是最优的TOE,最优的万物理论,没有冗余元素的TOE,最好的TOE,莱布尼茨会说,完美的上帝会用它来创造那个特定的宇宙。

为什么不能证明程序 "优美"?

因此,让我们考虑希尔伯特/图灵/后形式公理系统 FAS,它(如第二章所述)对我们来说只是一个生成所有定理的程序。我们假定,这个程序是生成那组特定定理的程序中,最小的一个。因此,这个程序的大小正是该理论之程序大小复杂度(the program-size complexity)。绝对没有冗余!

好了,这就是我们如何通过 FAS 所包含的比特信息的多少加以衡量其威力。正如你现在看到的,这真的很有效,它真的给了我们新的启示。

在上一节讨论的波莱尔悖论的基础上,考虑一下这个计算机程序...

Paradoxical Program P:

The output of P is the same as the output of

the first provably elegant program Q that you encounter (as you generate all the theorems of your chosen FAS) that is larger than P.

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