【paper】作为隐喻的数学 YURI I.MANIN (5-2)

首先，K(N)＜log N+const。当然，这很符合位值符号系统的历史成就，它为我们提供了对数长度的数字生成程序。然而，有一些任意的大整数，其科尔莫戈罗夫复杂性远远小于其十进制或二进制符号的长度，例如，K（1010"）＜K（N）+const。一般来说，当我们使用大数时，我们似乎只使用那些具有相对较小的科尔莫戈罗夫复杂度的大数。即使是m的小数，可能是数学家们产生过的最长的明确数字，也是科尔莫戈罗夫简单的，因为K（10π＜logN+const。一般来说，小的科尔莫戈罗夫复杂性=高的组织程度。

另一方面，几乎所有的整数N都有接近对数N的复杂度。例如，对于一个最优的f来说，当且仅当 (P)=N，那么K(P)就相当于对数P。这样的整数有许多显著的特性，我们通常将其与 “随机性”联系起来。

第二，科尔莫戈罗夫复杂性可以很容易地定义为非数字的离散对象，例如，俄语或英语文本。因此，《战争与和平》有一个相当明确的复杂性衡量标准；确定性与最佳编码的选择有关，如果我们选择少数合理的编码之一，似乎就会相当小。

从这个角度来看，《战争与和平》是一个高度组织化的还是一个几乎随机的组合对象？

第三，科尔莫戈罗夫复杂性是一个不可计算的函数。更确切地说，当且仅当是最优的，没有任何递归函数G(N)会与K(N)相差0(1) 。人们只能用可计算的函数来约束复杂性。

我觉得科尔莫戈罗夫的复杂性是一个在任何关于人类知识的性质的讨论中都必须牢记的概念。

只要我们的知识内容是以符号方式表达的（口头数字），就会对可以保存和处理的信息量有物理限制。我们总是依赖各种信息压缩的方法。科尔莫戈罗夫复杂性对这种压缩的有效性有绝对的限制。当我们说到，比如说，用运动方程表示的物理定律，我们的意思是，通过将这些定律翻译成计算机程序，可以获得对物理系统行为的精确描述，但我们能够发现和使用的定律的复杂性显然是有限制的。我们能确定不存在任意高复杂度的定律，甚至不存在支配“基本”系统的定律吗？

在这一点上，我们的讨论变得完全没有数学意义，在一个有数学意识的听众面前，我必须在此停止。但这就是任何比喻的命运。

阿罗的独裁者定理是在1950年左右发现的。在数学上，它是一个组合声明，描述了某些具有二元关系值的函数。直观地说，它是对社会选择问题的正式讨论。 假设一个立法者必须制定一项法律，将选民的个人意志处理成集体决定。如果要求选民在两个备选方案中选择一个，标准的解决方案是以多数票通过。然而，通常有两个以上的备选方案（想象一下资金分配问题），选民可能被要求根据他们的偏好来排序。从任何一组个人偏好中提取集体偏好的算法应该是什么？阿罗考虑了满足一些自然和民主公理的算法（例如，当大多数人倾向于A而不是B时，社会倾向于A而不是B）。然而，他发现，当有两个以上的选择时，实现解决方案的唯一方法是提名一名社会成员（独裁者，在不确定的情况下，将他的个人偏好顺序等同于社会偏好顺序。 (实际上，这是后来发现的阿罗定理的其中一个版本。另外，它指的是有限社会的情况；在无限的情况下，社会决策可以由超自由人做出，适当地称为“统治阶层”。

在某种程度上，这个定理说明了让·雅克·卢梭的《社会契约》思想的内容。

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