【paper】作为隐喻的数学 YURI I.MANIN (5-1)

当庞加莱在1902年首次出版他的《科学与假设》一书时，它成为一本畅销书。这本书的第一章专门讨论数学推理的性质。庞加莱讨论了一个古老的哲学争论，即数学知识是否可以简化为一些基本（合成）真理的同义转换的长链，或者它包含更多的东西。他认为，数学的创造能力是由于自由选择了最初的假设定义，而这些假设后来又通过与可观察世界的比较而受到限制。

我们这个时代的社会似乎对哲学上的微妙之处不像同时代的Poincare那样感兴趣。我并不想说科学本身变得不那么受欢迎。像S.温伯格的《前三分钟》和沃金的《时间简史》这样的书，卖出了几十万册，并在广泛发行的报纸上得到好评。改变的是一般的情绪。新的物理理论的偏好被认为是不那么引人注目的，而是更加务实的。（我们可以注意到，对视觉艺术的认识也是以同样的方式演变的：如果说印象派的第一次展览是一种精神革命，那么战后先锋派的每一次新浪潮都立即获得了学院派的家族特征。）

在这种气氛下，过去那种关于数学基础危机和无限性质的激烈讨论似乎几乎无关紧要，当然也不合适。观众对有关学校教育或新一代计算机的意见反应要热烈得多。

这就是为什么我决定在这个部分提出一篇不显眼的文章，其中我们的科学被认为是自然语言的专门方言，其功能是语言的一个特殊情况。这意味着对高中和大学培训的某些建议。

隐喻主义‬

这里的“隐喻”一词是在非技术性的意义上使用的，它最好是由以下引自詹姆斯·P·卡尔斯的《有穷和无穷的游戏》一书的引文来表达。

“隐喻是相似与不相似的结合，从而使一个永远无法成为另一个。”在其根源上，所有的语言都具有隐喻的特征，因为无论它打算站在什么地方，它仍然是语言，仍然是绝对不像它所涉及的东西。

“自然界的非言说能力是语言的可能性。”

考虑到数学是一种隐喻，我想强调的是，对数学知识的解释是一种高度创造性的行为。在某种程度上，数学是一部关于自然和人类的小说。人们无法准确地说出数学教会了我们什么，就像人们无法说出《战争与和平》究竟教会了我们什么一样。教学本身被淹没在重新思考这种教学的行为中。

这种观点似乎与科学和技术计算中应用数学的历史悠久的传统不一致。

事实上，我只想在数学的技术和人道主义方面恢复某种平衡。

两个例子

让我试着通过讨论两个不相干的主题来说明数学的隐喻潜力：科尔莫戈罗夫复杂度和K.Arrow提出的“独裁者定理”。

i)科尔莫戈罗夫对一个自然数N的复杂度是可以产生N的最短程序P的长度，或者说是N的最短代码的长度。读者应该想象一种对整数进行编码的方式，它是一个取自然值的局部递归函数f(P)。科尔莫戈罗夫定理指出，在所有这样的函数中，存在以下意义上的最经济的函数：如果Of N）是P的最小值，使f（P）= N，那么Cf（N）≤const C（N），其中const只取决于f，g，而不是N。

由于P可以从它的二进制符号中重构，产生N的最短程序的长度K被log Cf(N)所约束。这个函数，或者说所有这类函数的类，定义到一个有界的和，就是科尔莫戈罗夫复杂性。

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