元数学：计算机、悖论与数学基础 (8-6)

图灵曾证明，从数学意义上讲，不存在简单机器无法解决的可计算问题，而软件那连绵不绝的胜利则是对这一证明的怪异逆转。在这台机器的精确位置上，物理学的丘奇-图灵猜想通过将物理硬件与计算算法等同起来，创造了一个软件可以成功占据的空白——软件也因此而受益匪浅。

回想一下，熵在 19 世纪著名物理学家路德维希-玻兹曼（Ludwig Boltzmann）的研究中，发挥了尤为重要的作用，在统计力学和热力学领域也有所涉及。熵对一个物理系统之无序、混乱和随机程度加以衡量。晶体之熵值较低，而气体（例如，在室温下）之熵值较高。

晶体就像一个个体所释放出来的固定结构，其生命只有一瞬间，那就是晶体之形态构成（formation）的一瞬间，或者说，是晶核之形态构成的一瞬间，围绕着晶核，宏观晶格（crystallattice)[译注：指晶体中原子、分子或离子的排列形式，呈现出空间晶格的形态]之历届的、连续的层次逐渐结合在一起。我们所看到的形态，只是（以前）——于亚稳定状态下所实现的——个体化之遗迹。

熵同一个基本的哲学问题有关： 为什么时间只有一个方向？当然，在日常生活中，时间之倒退或前进，是有很大区别的。玻璃会破碎，但不会自发地重新组装。同样，在玻兹曼理论中，熵必须增加——系统必须变得越来越无序。这就是众所周知的热力学第二定律。

波兹曼的同时代人，无法从牛顿物理学中推导出这一结果。毕竟，在气体中，原子像台球一样弹来弹去，每一次相互作用皆乃可逆的。如果你能以某种方式对一小部分气体加以短暂的拍摄，那么你也仍无法分辨出，你所看到的电影是向前还是向后播放的。但是，玻尔兹曼之气体理论认为，存在着时间箭头——一个系统会从有序状态开始，最终进入非常混杂的无序状态。对于最终的状态，甚至有一种颇骇人的说法："热死（heat death）"。

反向回放，它展示的是一个完全正常的统计力学过程，因为失衡（disequilibrium）的集中，在扩散性、发散性的波浪中烟消云散。文明——严格意义上的城市化——蒸发为沸腾的均一与同质。达到嫡值最大值后，文明于微观状态中随机游荡，同时保持不变的宏观状态，没有时间梯度。从嫡纪元中采样的视频片段可以自由洗牌、向前或向后播放，而不会产生任何可被察觉的后果。这些操作会消失在无差别的嘶嘶声中。

我的想法，同玻兹曼理论之间之所以存有联系，是因为计算机程序之大小，类似于物理系统之无序程度。气体可能需要一个庞大的程序以对其所有原子的位置加以描述，而晶体由于其规则的结构，根本不需要那么大的程序。因此，熵同程序大小/规模之复杂性密切相关。

"程序大小/规模之复杂性"这一概念，也与科学方法哲学有关。雷-所罗门诺夫（Ray Solomonoff，当时在马萨诸塞州剑桥市扎托公司工作的计算机科学家）在 1960 年的一次会议上提出了这一观点，不过我是在几年后，当自己提出一些非常类似的观点后，才知道其工作的。想想奥卡姆剃刀，最简单的理论就是最好的理论。那么，什么是理论呢？就是对观测结果加以预测的计算机程序。而 "最简单的理论就是最好的理论"这句话就意味着，一个简洁的计算机程序就是最好的理论。

倘若并没有简明理论呢？如果，对特定实验数据加以重现（reproducing）的最简洁程序，同数据集之大小/规模相同呢？那么这个理论就并非好理论——它是炮制出来的，而数据亦乃不可理解的、随机的。理论之好坏取决于其能否将数据压缩成一套更小的理论假设与推导规则。

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