泛函分析一般应用

1. 非参数统计（比较经典的那些）经常要用到泛函分析的视角和工具，有一本书叫Mathematical Foundations of Infinite-Dimensional Statistics, 讲的大概就是这方面的工具。当然想法也很自然，就是把目标密度/函数当成一个向量，然后用希尔伯特空间里的基去逼近，然后去估计基的系数之类的。

2. 神经网络的理论研究里用泛函分析工具的也有不少，主要是对目标函数的光滑性做一些限制，然后用泛函分析的手段去控制神经网络的逼近误差，可以得到一些很有意思的结论（比如要达到同样的误差，宽且浅的网络需要的参数数量远多于深且窄的网络，这也解释了为什么是“深度学习”不是“宽度学习”）

3. 经验过程理论，把估计量视为某个无穷维空间里的点，然后用这个视角来刻画收敛

4. 有一个东西叫RKHS （再生核希尔伯特空间），想法大概是用kernel trick把数据从低维投影到高维，然后对kernel的分析要用到泛函分析的工具，不过我不怎么熟

5. 还有一门学科叫Functional Data Analysis，研究的对象就是怎么去估计一个一般的函数。这方面的领头大佬是UCD的Hans Muller

6. MCMC的收敛速度分析也会用到泛函分析的内容，比如说马尔科夫链的谱分解和其收敛速度有关，我们想要估计一个马尔科夫链的spectral gap，而怎样控制一个定义在一般空间上的马尔科夫链的spectral gap，就需要用到泛函分析的工具

7. 贝叶斯非参数统计里也有泛函分析的应用，比如定义在无穷维空间上的测度。

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