希尔伯特纲领 (5-4)

定义1.1.（局部反射原理）我们称如下模式为局部反射原理 Rfn：

□ᴛφ → φ

其中 φ 是闭公式。

定理 1.3.设 S 是任意包含 PRA 的理论，T是一个包含 S 的理论，φ ≡ ∀xψ 是一个 Π⁰₁ 句子，其中 ψ 也是 PRA 语言中的一个无量词公式，则如果T ⊢ φ，那么S＋Conᴛ ⊢ φ。

由上面的定理可知，如果我们能够在有穷主义数学系统 S 中证明理想数学系统 T 的一致性，那么就可以得到 T 相对于 PRA 是 Π⁰₁ 保守的。即对任意有穷主义数学的命题 φ，如果在理想数学 T 中能够证明它，那么我们也能在有穷主义数学 S 中证明它。一些文献也将希尔伯特纲领解读为一种保守性纲领，即证明理想数学相对于有穷主义数学是保守的。

如果我们能够在有穷主义数学中证明无穷的理想数学的一致性，那么一方面我们能够将无穷的理想数学的可靠性建立在有穷主义数学的基础上，从而回应直觉主义者对古典数学和集合论的可靠性的质疑。另一方面证明了无穷的理想数学相对于有穷主义数学是保守的，我们获得了一个统一的方法来消除理想元。这就将无穷数学规约到了有穷主义数学。

1.4 哥德尔不完全性定理

下面我们将说明为什么哥德尔不完全性定理使得希尔伯特纲领无法完全实现。

定理 1.4. (哥德尔第一不完全性定理) 对任意包含鲁滨逊算术 Q 的可递归公理化的理论 T，如果 T 是一致的，那么存在一个 Π⁰₁ 句子 φ 使得T ⊬ φ 且 T ⊬ ¬φ。

任何有穷主义数学的递归公理化系统 S（比如PRA）都包含 Q，所有哥德尔第一不完全性定理对 S 成立。通过观察 φ 的构造，我们可以看出它是一个 Π⁰₁ 句子，因此 φ 是一个真实数学中有意义的句子。这样我们就找到了一个真实有意义的命题（在有穷主义观点下）φ，它在有穷主义数学 S 中是不可证的。而 φ 在理想数学是可证的，因此理想数学相对于有穷主义数学不是保守的，这否定了希尔伯特纲领的保守性目标。

定理 1.5. (哥德尔第二不完性定理) 对任意包含 Q 且满足可证性条件D₁、D₂ 和 D₃ 的可递归公理化的理论 T，则

(i) ⊢ᴛ Conᴛ → ¬□ᴛConᴛ：

(ii)如果 T 是一致的，那么T ⊬ Conᴛ。

推论 1.6. 对任意包含 PRA 的可递归公理化的理论 T，

（1）如果 T 是一致的，那么T ⊬ Conᴛ：

（2）如果 T 是 ω 一致的，那么T ⊬ ¬Conᴛ。

哥德尔第二不完全性定理直接否定了用有穷主义方法证明理想数学的一致性的可能性。我们仍然可以假定任何有穷主义数学的递归公理化系统 S 都包含 PRA，因此 S 无法证明自身的一致性，更不能证明比 S 更强的理想数学的形式化系统 T 的一致性了。

2 相对化希尔伯特纲领

“相对化希尔伯特纲领”由Feferman（1988）提出，Feferman（1993）、Feferman（2000）陆续对其进行阐释。证明一致性的一个重要意义是可以导出保守性，“相对化希尔伯特纲领”放弃了直接证明古典数学系统的一致性的目标，而转而直接追求保守性，并且这种保守性需要在 PRA 中证明。这种意义上的保守性被严格形式化为证明论规约这一概念。获得二阶算术和集合论的子系统之间的证明论规约的方法通常需要使用证明论中发展起来的高度复杂的技术工具，不过我们这里关注的是这些规约的结果和它们的哲学意义。

2.1 规约证明论

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