集合论及其发展历程 (3-2)

1883年，康托尔证明了康托尔定理：任何集合的势都小于其幂集（由集合的子集组成的集合）的势，揭示了无穷有无穷多个层次。并且提出了著名的“连续统假设”：可数集的势与不可数集的势之间不存在其他势。因为实数轴上的数都是连续的，因此在实数范围内的集合的势，又称连续势。再来说一下关于可数集与不可数集的区别，可数集（又称可列集），一种最小的无穷集合，与自然数集对等的集合，都是可数集。不可数集，与实数集对等的集合，都是不可数集，例如实数轴上的区间、无理数集等等。在连续统假设下，实数范围内的不可数集的势，又称连续统基数，（例如实数集的势），因此，连续统基数是最小的不可数基数。

空集 可数集

有限集合 无限集合

有限集 不可数集

连续势下的集合的简单分类

1895—1897年，康托尔发表了题为《关于超穷集合论的基础》，给出了超限基数和序数的定义，定义了基数与序数的加法、乘法和乘方的运算，建立了集合论的基数理论和序数理论，自此，康托尔关于集合论的建立工作基本完成。

公理集合论：古典集合论建立之后，得到大多数数学家的肯定，从自然数到集合论可以建立起整个数学大厦，集合论成为了现代数学的基石。希尔伯特、庞加莱（当时的两位数学界的大家）曾在1900年的数学大会上高度赞扬（古典）集合论的重大影响，希尔伯特提出的著名的23个问题中，更是把连续统假设作为第一个问题，可见其对集合论的高度认可。读者读到这里，可能就会想了：既然古典集合论已经很完善，并且有着重要的数学地位，为什么还会有公理集合论的产生呢？

在数学的世界里，各种理论都是在不断完善发展的，集合论同样如此。尽管古典集合论解决了当时许多数学问题，但是经过数学家们的研究，古典集合论仍然存在着漏洞。

1903年，英国数学家罗素提出了著名的“理发师悖论”（规定只给不会给自己理发的理发师，到底该不该给自己理发），紧接着，各种悖论扑面而来，数学家们开始认识到古典集合论的巨大漏洞，间接引发了第三次数学危机。既然问题已经出现，就需要解决问题，数学家们纷纷需求解决方案，这就促使了数学家们用公理化方法和数理逻辑去重建集合论。1908年，策梅洛建立了第一个公理集合系统，经过弗伦迪克、冯诺依曼等人的补充，得到了策梅洛——弗伦迪克公理系统，简称ZF系统，加上选择公理后，又称ZFC系统，一直沿用至今。从该系统中，可以导出古典集合论中所有的结果，并且排除了罗素悖论等各种已知悖论。

另外，古典集合论中的连续统假设（CH）、选择公理（AC）在20世纪得到重大突破，1940年，哥德尔证明了CH、AC对于ZF系统的相容性。1963年，科恩证明了CH、AC相对于ZF系统的独立性，即连续统假设在该系统中无法证明，与平行公设不可证相同，也就是说，可以同时存在使CH成立与不成立的系统，正如欧式几何与非欧几何一样。哥德尔曾经提出著名的哥德尔不完备定理，打破了希尔伯特将数学公理化的愿望，任何兼容性的体系，无法用于证明它本身的兼容性。也就是说，在公理集合论中，总会存在属于该系统本身，却又无法用该系统去证明的定理、假设等。

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