Kronecker定理 (2-2)

设ωᵢ ∈ ℂ (1 ≤ i ≤ n)为单位根， ξ＝∑ωᵢ 。若 |ξ|＝1，则 ξ 也是单位根。

不妨找一个足够大的m 使得 ωᵐᵢ＝1，记一个m次本原单位根是 ζ ，

ₙ₋₁

ξ＝∑ αᵢξⁱ(αᵢ ∈ ℕ)

ᵢ₌₀

ₙ₋₁ ₙ₋₁

1＝ξˉξ＝∑ αᵢξⁱ ∑ αᵢζⁿ⁻¹，

ᵢ₌₀ ᵢ₌₀

整理出一个关于 ζ 的整系数多项式，那所有的m次本原单位根也应当适合于这个方程，其实就表明 ξ 表达式里的ζ 换成任意一个本原单位根，模长还是1。

Gαl(ℚ(ζ)|ℚ)＝(ℤ/mℤ)* 在m次本原单位根上的作用其实就是m次本原单位根间的置换，这表明 ξ 在Galois群作用下保持模长1，注意到 ξ 的Galois闭包包含在 ℚ(ζ) 中，应用Kronecker定理得到结果。

设ωᵢ ∈ ℂ (1 ≤ i ≤ n) 为单位根，

1

ξ＝─ ∑ ωᵢ

n

是代数整数。那么只能 ξ＝0 或者 ξ＝ωᵢ ∀1 ≤ i ≤ n

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