逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-12)

r ∈ r ↔ r ∉ r

但是我们可以在非常弱的命题逻辑内快速证明，任何形式为

A ↔ ¬A

的陈述是不一致的。因此弗雷格的基本法则 V 是不一致的。□

这个简单的形式发现引发了20世纪初的“基础危机”。 弗雷格在1902年10月写的《法则》第二卷的后记以令人心碎的词句开头：

对于一位科学家来说，几乎没有什么比他在完成他的工作时，发现其大厦的一块基石破碎更不幸的事情了。（Frege [1903]，p.253） 罗素悖论使得《法则》的细节被相对忽视。学术界不得不等待很长时间才能看到该作品的完整英文翻译。考虑到它对于 20 世纪 60 年代开始的新弗雷格主义复兴的重要意义，这是令人遗憾的。

1.3 弗雷格和策梅洛之间的逻辑主义

1.3.1 罗素类型论

罗素提出了他自己的解决悖论的方法，即他的类型论（theory of types）（包括简单的和分支的（ramified））。通过将对象宇宙分层为类型，罗素试图避免恶性循环，他认为这是弗雷格类抽象中的根本问题。

个体形成最低类型。个体的属性或性质（或者罗素称之为命题函数（propositional functions）的东西，它们对个体可以为真或为假）形成下一个更高类型……依次类推。在罗素的类型论中，成员关系只能在不同类型的对象之间成立：如果 α 是 β 的成员，那么α 的类型低于 β 的类型。在类型论中，变量是有类型的。也就是说，给定变量只能理解为范围仅限于某种类型的对象。因此，将会有“个体”变量（比如类型 0），它们的范围仅限于个体。在下一个更高的类型——类型 1——中，将会有“属性”和“关系”变量，它们的范围限于个体间成立的属性和关系。（0和1在此作为类型的索引（indices）。）这个想法迭代覆盖了所有有限索引的类型。此外，在罗素的理论中，只能形成有限索引的类型。这些是可以从“外部”通过自然数 n 进行索引的类型。不存在超限（transfinite）类型，即没有可以由超限序数（例如 ω）索引的类型。

一个直谓（predicative）命题函数是指其不涉及对高于其参数类型的类型进行量化的命题函数。罗素不仅对论域（各种类型及其类型的对象）进行分层，还对语言进行分层。假设一个罗素类（或直谓命题函数）β 首先在比 α 更高的等级中形成。那么（在类型论的语言中）说 β 是 α 的成员是没有意义的，其中这是在官方意义上理解将假定地与 α 对应的属性归属于对象 β。（相比之下，在集合论的语言中，说 β∈α 是有意义的——即使是假的。）因此，在罗素的类型论中，不可能处理可能的非自我成员这一谓词或属性。因为这要求自我成员谓词 x∈x 是有意义的（且良构的）；而它并不是。因此，罗素在他的类型论中阻止了他自己悖论的推导，而弗雷格的类理论却深受其害。

然而，罗素试图保留弗雷格将基数定义为同样大小类的类的做法：

一个类α 的基数被定义为所有与 α 相似的类的类，当存在一一对应关系时，两个类是相似的。（Russel 1908: 256）

这个定义及其引发的问题延续到了《数学原理》。

由于罗素将逻辑宇宙划分为类型，他的“基数”变得典型地模糊的。（在下面的引用中，符号 ∧ 表示空类。）如罗素承认的（1908: 257），

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