无穷逻辑的意义 (2-2)

另外一个研究方向则是欧洲特别是赫尔辛基和巴塞罗那现在在做的方向，研究所谓的Lowenheim-Skolem number的，大致就是一个逻辑能有多大多小的初等子模型或初等扩展，算是set-theoretic model theory的子分支，但它不单止研究无穷逻辑，也研究各种抽象逻辑（例如说公式仍然有穷长，但是加上了各种花式的量词的逻辑）

最后，武丁那边做的Ultimate-L纲领其中一个重要目标是他发明的Ω 逻辑的完备性定理。这个 Ω 逻辑也会被称作无穷逻辑，但它和上述的无穷长度语句的逻辑不是特别一样。而是他根据一阶逻辑和超出一阶逻辑的一些可定义性和力迫不变性相关的元数学性质，提炼出了一种“什么是证明、什么是validity”的抽象思路。例如在一阶逻辑中，扮演“证明”角色的是有穷的字符串，也就是自然数，而在 Ω 逻辑中，扮演“证明”角色的则是universally Baire sets of reals. 这方面Peter Koellner有一篇写得很好的偏哲学的动机综述，叫Strong Logics of First and Second Order.

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