数学哲学译文丨形式主义的两个教条（一） (11-10)

纵观20世纪, 谓词逻辑一直扮演着讨论数学基础的事实上的标准框架的角色, 进入21世纪这一点也没有改变. 但是, 谓词逻辑能自然表达的公理化方法是有限的, 而且与数学漫长的历史相比, 公理化方法在数学中普及也只是最近的事[37]. 谓词逻辑成为事实上的标准框架, 仅靠形式主义数学观的普及无法解释. 数学整体是在集合论而非谓词逻辑之上形式化展开的. 在谓词逻辑这片土地上, 首先有集合论这个基础, 在这个基础之上, 数学这座大厦才拔地而起. 谓词逻辑在数学基础中的成功, 是作为形式化展开集合论的框架的成功.

然而, 用这种谓词逻辑、集合论、数学的三层结构来给数学奠基, 也不是一件简单的事. 在发现集合论中的斯科伦悖论后, 基于集合相关概念的解释依赖于模型的选择而变化这一事实, 斯科伦提出了称为集合论相对主义 (set-theoretic relativism) 的观点, 认为集合相关的各种概念并非普遍的, 并由此得出结论: 集合概念不适合作为数学的基础[38]. 也就是说, 建立在谓词逻辑这片土地上的集合论是摇摆不定的, 因此不适合作为支撑数学这个结构的基础.

从这种集合论相对主义导出的一种立场是, 将集合视为单纯的点, 把集合论看作是一个关于抽象的二元关系∈ 所确定的数学结构的公理化理论[39]. 极端地说, 这种立场不把谓词逻辑、集合论、数学的三层结构视为一个整体, 而是将集合论从数学基础的问题中分离出来, 视为与群论、域论同类的某种代数理论.

谓词逻辑在通常数学中的应用的典型例子是实代数几何. 实代数几何的关键是实闭域上的序, 与集合论中∈ 是二元关系一样, 序也是二元关系. 和、积等运算构成多项式, 与之相对地, ∈ 和序构成逻辑式, 用逻辑式可以研究实闭域的各种数学性质. 也就是说, 通常的代数学是「运算代数学」, 而谓词逻辑是「关系代数学」. 当把谓词逻辑看作「关系代数学」时, 谓词逻辑本身并不是回答「什么是命题」「什么是证明」这类哲学问题的框架. 这种将谓词逻辑视为「关系代数学」的观点, 正是将数学基础论视为数学这一思路的核心.

不过, 即使将谓词逻辑视为「关系代数学」, 形式定义的「证明」概念也不会与朴素的证明概念无关. 将谓词逻辑视为「关系代数学」, 是暂时切断常识意义上的谓词逻辑与哲学的联系, 这是为了摆脱数学思维是演绎的、演绎写出来就是证明这一固有观念, 从而重新面对「什么是命题」「什么是证明」这些哲学问题.

现在有演绎、朴素证明、形式「证明」这三个概念. 标准观点可能是, 朴素证明由演绎构成, 将这种演绎形式化就是形式「证明」. 也就是说, 这三个概念是重叠的, 朴素证明和形式「证明」并非直接相连, 而是通过演绎这个概念联系在一起. 那么, 如果朴素证明和「证明」的概念无法很好地对应, 这并非简单地因为「证明」的概念不恰当, 而可能是因为我们对演绎、朴素证明、「证明」这三个概念之间的关系理解得还不够充分.

推理是我们心智的活动. 我们可能因为将演绎和朴素证明的概念等同起来, 而扭曲了原本朴素的证明概念. 给出形式「证明」定义的谓词逻辑, 不管是否具有演绎性, 都不是理解活生生的人类推理的框架, 而是审视「写出的证明」的观测仪器. 而「写出的证明」是为了理解、信服、解释和说服而进行的言语活动, 是对于数学世界逻辑一致性的观察结果报告. 作为「关系代数学」的谓词逻辑, 支撑着这种观点.

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