C(n)基数（一） (15-14)

以下推论总结了上述结果。（2）和的等价性（4）在接下来的两个推论中已经证明了【1].推论4.13对于n ≥ 1，下列等式是等价的:（1）V P（пn+1）。v P（κ，σN2），对于某些κ。存在一个C（n）可扩基数。存在一个C（n）+-可扩展基数。定理证明（1）和（4）4.12。（4）（3）和（2）（1）是直接的。和（3）从定理得出（2）4.11。п特别地，由于每个可扩展基数都是C（1）-可扩展的（命题3.3），我们有以下内容。推论4.14以下是等价的:①V P（п2）。v P（κ，σ3），对于某些κ。存在一个可扩展的基数。存在一个C（1）+-可扩基数。我们最终得到了VP的如下特征。（2）、（3）和（5）的等价性已经在【1].推论4.15以下是等价的:v P（пn），对于每一个n。v P（κ，σn），对于一类适当的基数κ，对于每个n。副总裁。对于每一个n，都存在一个C（n）可扩基数。对于每一个n，都存在一个C（n）+-可扩基数。证明很清楚，（3）隐含着（1）而（2）隐含着（3）。所有其他的含义都是从推论中直接得出的4.13。п因为VP的一致性来自于一个几乎巨大的基数存在的一致性（见【5】，24.18和Sect。6），一个几乎巨大的基数给出了通常的大基数层次中所有n-1个C（n）-可扩基数的一致性强度的一个上界。接下来，我们给出了C（n）可扩基数关于结构类反射的一个特征。定理4.16如果n ^ 1和κ是反映同类型结构的所有пn ^ 1真类的最小基数，那么κ是C（n）+-可扩的。证明假设不是这样。然后由4.11没有C（n）-可扩的，因此没有C（n）+-可扩的基数小于或等于κ。因为这样的基数将反映所有σN2（因此所有пn1）类结构，与κ的最小值相矛盾。考虑Vξ，，λ，α，C（n）ξ形式的结构类，其中α《λ《ξ，并且λC（n）ξLim（C（n））ξ的余数是不可数的6β《ξ♀6μ（E j（j:vλ→♀vμˊCr I t（j）=αˊj（α）=β）→E j♀Eμ♀（j♀:vλ→vμ♀μ《ξˇvξ| =“μe C（n）“ˇCr I t（j♀）=αˇj♀（α）=β），以及λ证明小于或等于α的序数都不是λ-C（n）+可扩的。显然，C是一个пn+1可定义的真类。所以存在一个初等嵌入j:（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪）→（Vξ，e，λ，κ，C（n）∩ξ）当（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪）和（Vξ，e，λ，κ，C（n）∩ξ）都在C中时，当（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪）的秩小于κ。所以ξ♀《κ。设α= Cr I t（j）。我们声称αe C（n）。否则，设γ:= sup（C（n）∩α）。所以γ《α。设δe C（n）最小使得γ《δ《ξ◪。由于δ可由γin（Vξ◪，e，λ◪，α◪，C（n）∩ξ◪）和j（γ）=γ定义，因此j（δ）=δ。因此j T Vδ+2 : Vδ+2 → Vδ+2是初等的，与Kunen定理相矛盾。如果JM（α）《ξ♀对于所有m，则{ JM（α）} meωe Vξ♀，因为ξ♀具有不可数的余数，与Kunen定理相矛盾。所以对于某些m我们有JM（α）《ξ♀≤JM+1（α）。我们声称存在一个初等嵌入k:Vλ♀→Vμ，一些μe C（n），其中Cr I t（k）=α，k（α）= JM+1（α）。我们用归纳法在i ≤ m上证明了这一点i = 0取k = j T Vλ◪。现在假设I《m为真。因为j I+1（α）《ξ◪，由（4）上面存在j♀和μ♀使得j♀:Vλ♀→Vμ♀是初等的，μ♀《ξ♀，Vξ♀| =μ♀e C（n），Cr I t（j♀）=α，j♀（α）= j I+1（α）。请注意，由于ξe C（n）和根据j的初等性，vξ| = j（μ◪）e C（n），因此得出j（μ◪）e C（n）。用j组成j♀我们现在得到了k:=（j♀j♀）:Vλ♀→Vj（μ♀）是初等的，有临界点α，k（α）= j I+2（α）。注意，由于α，ξ♀，ξe C（n），因此JM+1（α）e C（n）。因此，k证明α是λ◪-C（n）+-可扩的，与上面的（5）相矛盾。п观察到如果κ是最小C（n）可扩基数，那么通过定理4.11它反映了所有σN2类结构。因此，根据上面的定理，κ是做到这一点的最小基数，因此κ是C（n）+可扩的。推论4.17对于每个n ≥ 1，以下等式是等价的:κ是最小C（n）可扩基数。κ是反映所有σn+2可定义的、参数在Vκ中的同类型结构类的最小基数。即κ是V P（κ，σn+2）成立的最小序数。κ是反映类型结构的所有пn+1个真类的最小基数（Vα，e，A），其中A是一元谓词。用定理证明κ是C（n）可扩基数4.11v P（κ，σn+2）成立，因此κ反映了Vα，，A类型结构的所有пn-1个真类，其中A是一元谓词。定理的证明4.16证明了如果κ是反映特定пn+1个可定义的结构的真C类的最小基数对于形式Vξ，，λ，α，C（n）ξ，其中α《λ《ξ，则κ是C（n）+-可扩的，因此C（n）-可扩的。因此，由于三元组λ，α，C（n）ξ可以很容易地编码为Vξ的子集，因此定理（1）、（2）和（3）的等价性直接成立4.16。п下面的参数化版本也如下。定理4.18当且仅当κ是C（n）可扩基数或C（n）可扩基数的极限时，基数κ反映所有пn-1（真）类同类型结构。

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