Peano 自然数公理体系 (2-2)

(iii) 现在定义N 到 S 的映射 f 为若 (n，b)∈F , 且令 f(n)＝b , 则有 f(0)＝α 和 f(n⁺)＝φ(f(n)) . 如果另有从 N 到 S 的映射 g 也满足定理的要求 , 则可以利用归纳公理可知 , 对所有 n∈N , 都有 g(n)＝f(n) , 这就说明 f 是唯一定理满足要求的映射 , 至此定理证毕 .

下面我们介绍一下N 内的加法 , 乘法和序 .

(1)N 内的加法运算

任取m∈N , 在递归公理中取 S＝N , α＝m 且 φ 为后继映射 , 然后得到从 N 到 N 的一个映射 fₘ , 对任意的 n∈N , 定义 fₘ(n)＝n＋m 为 N 内的加法运算 .

N 内的加法运算满足下面的运算规律：

(i)n＋0＝n；

(ii) 交换律n＋m＝m＋n；

(iii) 结合律(m＋n)＋l＝m＋(n＋l)；

(iv) 消去律m＋n＝l＋n ⇒ m＝l.

(2)N 内的乘法运算

任取m∈N , 在递归公理中取 S＝N , α＝0 且 φ 为映射 n ↦ n＋m , 然后得到从 N 到 N 的一个映射 fᵐ , 对任意的 n∈N , 定义 fᵐ(n)＝nm 为 N 内的乘法运算 .

N 内的乘法运算满足下面的运算规律：

(i)0 · m＝0；

(ii) 交换律m · n＝n · m；

(iii) 结合律(m · n) · l ＝m · (n · l)；

(iv) 消去律m · n＝l · n，n ≠ 0 ⇒ m＝l；

(v) 分配律l · (m＋n)＝l · m＋l · n.

(3)N 内的序

∀m , n∈N，若 ∃x∈N , 使得 m＝n＋x , 则可以定义 m ≥ n 或 n ≤ m , 且满足下面的规则：

(i)m ≥ n，n ≥ m ⇔ m＝n；

(ii) 若m ≥ n 和 n ≥ l , 则有 m ≥ l；

(iii) 对于任意的m , n∈N，必有 m ≥ n 和 n ≥ m 之一成立 ;

(iv)N 的任意一个非空子集 S 中都存在最小自然数 , 即 ∃l∈S , 使得 ∀m∈S 有 m ≥ l；

(v) 若m ≥ n , 则 m＋l ≥ n＋l；

(vi) 若m ≥ n , 则 m · l ≥ n · l .

因此有了上述三方面的结果 , Peano 的自然数公理体系就严格地确立了 .

推荐阅读和参考文献：

[1] Jacobson , Nathan . 《Basic Algebra》

[2] Grove, Larry C. 《Algebra》

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