Peano 自然数公理体系 (2-1)

本文我们介绍一下 Peano 的自然数公理体系来对自然数0，1，2，. . . 从逻辑上给出严格的定义 .

定义：设N 是一非空集合 , 且有

(i) 在N 内存在一个特定元素 0 ;

(ii) 存在N 到自身的一个映射 , 记作 n ↦ n⁺ , 称为后继映射 , 且满足 ∀n∈N ，有 n⁺ ≠ 0 和 n ↦ n⁺ 是一个单射 , 而 N 的一个子集 T 满足归纳公理 , 即如果具备下面的条件：

(a)0∈T；

(b) 若0∈T，则 n⁺ ∈T ，进而有 T＝N ；

此时称N 是一个自然数系 , N 内的元素 n 称为自然数 .

从自然数系定义中的归纳公理出发 , 就立马可以得到下面的第一归纳原理 .

定理(第一归纳原理): 如果每个自然数n 都对应于某个命题 E(n) , 如果命题 E(0) 和 E(n) 成立 , 则命题 E(n⁺) 成立 , 故可以断言命题 E(n) 对一切自然数 n 均成立 .

上面的第一归纳原理就是我们中学中常用的数学归纳法的理论来源 , 接下来我们再从N 的定义出发 , 在 N 内定义加法和乘法 , 于是我们先来证明下面的递归原理 .

定理(递归原理)：令S 是一个集合 , φ 是 S 到自身的一个映射 , α 是 S 的一个固定元素 , 则存在 N 到 S 的唯一的映射 f 满足

(i)f(0)＝α；

(ii)f(n⁺)＝φ(f(n)) .

证明：考察集合A＝{(n，s)：n∈n，s∈S} , 设 Γ 是具有下面性质的 A 的子集 ∪ 构成的集合 , 即 ∪ 满足 (0，α)∈∪ 和若 (n，b)∈∪ , 则 (n⁺，φ(b))∈∪ . 显然 A∈Γ , 故 Γ ≠ ∅ , 再令 F 是 Γ 内所有集合的交集 , 故有 (0，α)∈F , 进而得到 F ≠ ∅ , 下面证明 F 的两条基本性质 .

(i)∀n∈N , ∃b∈S 使得 (n，b)∈F . 证法如下：令 T＝{n∈N： b∈S， (n，b)∈F} , 且由于 0∈T , 若 n∈T , 即存在 b∈S 使得 (n，b)∈F , 则 (n，b) 属于 Γ 的任意元素 ∪ , 故 (n⁺，φ(b)) 属于 Γ 的所有元素 ∪ , 即 (n⁺，φ(b))∈F , 于是有 n⁺∈T , 根据归纳公理可知 , 得到 T＝N .

(ii) 若(n，b)∈T 和 (n，b')∈S , 则有 b＝b' . 证法如下：令

T＝{n∈N： (n，b)∈F (n，b')∈F， b＝b'} , 由于 (0，α)∈F , 若 (0，α')∈F 和 α ≠ α' , 故从 F 中去掉 (0，α') 后得到 A 的子集 F' , 显然有 F'∈Γ , 故 F ⊆ F' , 此时与 F' 是 F 的真子集矛盾 , 故有 α＝α' , 即有 0∈T , 然后只需证明若 n∈T , 则 n⁺∈T 即可 , 假设 n⁺ ∉T , 于是取 (n，b)∈F , 此时 (n⁺，φ(b))∈F , 且有 c ≠ φ(b) 使得 (n⁺，c)∈F , 则从 F 中去掉 (n⁺，c) 得到子集 F' , 显然有 F'∈Γ , 故 F ⊆ F' , 推出与 F' 是 F 的真子集矛盾 , 因此根据归纳公理可知 , 有 T＝N .

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