数学联邦政治世界观
超小超大

不可数序数集的问题

你的思维还局限在潜无穷的领域。集合论入门的第一课就是教你怎么跨越无穷,在众多数学思维中,这几乎是不可避免的一步。

按照你的记号,Aₙ=A\{m₀,· · ·,mₙ} 当n增大时越来越小,但你没有任何理由说 Aω=∩∞A\{m₀,· · ·,mₙ} 是一个空集。

ₙ₌₀

而且它必然不是空集,这样我们又可以取 Aω 的最小元,记为 mω ,并 Aω₊₁=Aω\{mω} ,… …,以此类推。这种“操作”不可能在任何一个可数步骤结束,因为 A 是不可数序数。

你可能会问是什么东西让我们有能力谈论无穷次“选取”,并做他们的交呢?这个东西就是无穷公理。康托第一次考虑超穷次“操作”是用的取导集,任给A ⊂ [0,1] ,令 A' 为A的所有聚点之集,类似的,我们可以取一个集合无穷次导集,但那也不意味着无穷次取导集后为空集,或者不再有孤立点,我们还可以继续对它取导集(但可以证明这种取导集操作对于闭集A肯定会在可数次后稳定)。

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