Dedekind finite set的一些简单性质 (2-2)

A＝{〈i，x〉：i∈𝐼∧x∈Aᵢ} 的基数，下面只需证明 A 是Dedekind finite。证明与定理 3 的 α × b 类似：如果存在 f：ω → A 是单射且 B＝f[ω] ，那么要么 dom(B) 是可数集，要么对存在 i∈dom(B) 满足 {x∈Aᵢ：〈i，x〉∈B} 是可数集，因此定理成立。⊣

定理5 ：假设 α 是Dedekind finite set，那么 ν＝{r：∃n∈ω(r：n → α∧r )} 是Dedekind finite set。

证明：反证法，假设f：ω → ν 是单射，定义 f[ω]＝ρ⊆ν 且 fₙ＝{r∈ρ：dom(r)＝n} 。假设存在某个 n 满足 fₙ 是无限集，设 fₙ＝{r₁，· · ·，rₖ，· · · } ，由于有穷个元素的排列是有穷的，因此 ∀kl＞k∃u≤n，rₗ(u)∉∪rαn(rᵢ)成立； i≤k

又因为 rₖ 已经确定了 rαn(rₖ) 上的良序，因此 {rᵢ(j)：i，j＜ω} 上有一个由 fₙ 诱导出的良序，这样， {rᵢ(j)：i，j＜ω} 就是 α 的可数子集，这与 α 是Dedekind finite set矛盾。

假设对于任意n 都满足 fₙ 是有限集，由于 f 定义了 ρ 上面的良序，那么我们可以从每个 fₙ 中选择一个 sₙ ，显然 ∪rαn(sₙ) 是 α 的

ₙ

可数子集，这与 α 是Dedekind finite set矛盾，因此这样的 f 不存在， ν 是Dedekind finite set。⊣

以上内容来自Jech的set theory第三章课后题。

定理6 ：假设 α 是无穷集，那么 𝕻𝕻(α) 是Dedekind infinite。

证明：{{b⊆α：|b|＝n}：n＜ω} 是可数集即可。⊣

贴一张jech的原文，里面是Dedekind finite set的一些不能在ZF中被证明的性质。读者根据我上面的证明过程应该能理解为什么下面这些性质在ZF中推不出来。

On the other hand，one cannot prove without the Axiom of Choice that a pro- jection，power set，or the set of all finite subsets of a D-finite set is D-finite，or that the union of a D-finite family of D-finite sets is D-finite.

（中文翻译）：另一方面，如果没有选择公理，就不能证明D-有限集的投影、幂集或所有有限子集的集合是D-有限的，或者D-有限集族的并集是D-有限。

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