Ramsey定理 (3-3)

假设命题对 r 成立，对于划分函数 f：[ω]r，ʳ⁺¹ → m ，往证齐一集 |H|＝ω 的存在性。思路依然是找到序列 Aₙ(n∈ω) 和 iₙ∈m(n∈ω) ，满足对于任意 k＜l₁＜⋯＜lᵣ ∈ ω ， f({Aₖ，Aₗ₁，…，Aₗᵣ})＝iₖ 。必存在 t 在序列 iₙ 中出现了无限次，可不妨设 iₙₛ＝t(s∈ω) ，记 H＝{Aₙₛ|s∈ω} ，则 H 是齐一集。

取 A₀＝0 ，记划分函数 f₀：[ω−{A0}]ʳ → m 满足 f₀(x)＝f(x∪{A₀}) 。运用归纳假设，存在 f₀ 的齐一集 H₀ ， f₀ 在 [H₀]ʳ 上值为 i₀ 。

归纳定义。设 Aₙ，Hₙ，iₙ 已定义，令 Aₙ₊₁＝min Hₙ ，记划分函数 fₙ₊₁：[Hₙ−{Aₙ₊₁}]ʳ → m 满足 fₙ₊₁(x)＝f(x∪{Aₙ₊₁}) 。运用归纳假设，存在 fₙ₊₁ 的齐一集 Hₙ₊₁ ， fₙ₊₁ 在 [Hₙ₊₁]ʳ 上值为 iₙ₊₁。

如此构造的 Aₙ，iₙ 满足条件，定理得证。 ◻

参考

^以下内容参考冯琦《集合论导引》第一卷2.6节

^如果你不知道这个omega是什么意思，可以把它视为自然数集

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