数学联邦政治世界观
超小超大

稳定性理论的一个引理

以下均假设 T 是可数语言的完备理论。

稳定理论:设 κ 为无穷基数。称 T 是 κ 稳定理论, 如果对任意 𝕸 ⊨ T 及任意 A⊆M , |A|≤κ时对于任意 n∈ω 有 |Sᴬₙ(T)|≤κ 。

定理:如果 T 是 ω 稳定理论,那么T 是 κ 稳定理论。

证明:反证法,如果存在模型M⊨T 且存在 A⊆M 满足 |A|≤κ和 |Sₙ(T)|>κ ,由于 |𝕷ᴀ|=κ ,那么存在公式 ψ∈LA满足 |[ψ]|>κ 。

下面求引理:存在公式 ϕ 满足 |[ψ∧ϕ]|>κ 且 |[ψ∧¬ϕ]|>κ ;否则令 Γ={ϕ∈𝕷ᴀ:|[ϕ∧ψ]|>κ} ,那么有ϕ∈Γ∨¬ϕ∈Γ ,即 Γ 是极大一致公式集。假设 Γ 对有限交封闭,那么公式集 Γ∪Th(𝕸ᴀ) 是一致的,因此 Γ∈Sᴬₙ(T) 。由于 [ψ]={Γ}∪⋃φ∉Γ[ψ∧φ] ,那么 |[ψ]|=κ ,矛盾,反证 Γ 对有限交不封闭。因此存在公式 ϕ₁,⋯,ϕn∈Γ 且 ψ∧ϕ₁∧⋯∧ϕₙ ∉Γ ,因此有 |[ψ∧¬ϕᵢ]|>κ 。

根据引理,我们可以得到一个递归序列:由于 |[ψ∧ϕ]|>κ 和 |[ψ∧¬ϕ]|>κ |[ψ∧¬ϕ∧φ]|>κ ,那么存在公式 χ 和 φ 满足 |[ψ∧ϕ∧χ]|>κ 和 |[ψ∧ϕ∧¬χ]|>κ , |[ψ∧¬ϕ∧¬φ]|>κ ,由此可得无穷二叉树。二叉树上所有公式的枚举为 ϕ,¬ϕ,χ,¬χ,⋯ ,即二叉树上只出现可数个公式,令 A′={α∈A:∃σ,α在σ中出现} ,可得 |A′|=ω ,但 |Sᴬ′ₙ(T)|=2ω ,这与 T 是 ω 稳定理论矛盾,反证定理成立。

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

江晴川的平行日记 连载中
江晴川的平行日记
鸭冻
一觉醒来,江晴川和她的朋友们出现在一个未知的空间。明明一切与平常无异,但是处处诡异的事件让人感到毛骨悚然。幸好江晴川和她的朋友们通过他们的聪......
1.5万字9个月前
随笔d原创 连载中
随笔d原创
清挽月
纯原创随笔有现代abo和古多设可书评可投稿可求后续禁抄禁不打招呼不打原作者搬运不定时更新可催
新书9个月前
偏执神明的菟丝花 连载中
偏执神明的菟丝花
许昼
他想逃离那个疯子,还来不及穿鞋,雪白的脚趾踩在冰冷的雪地上,一步一个脚印,白茫茫的雪,昏暗的天,以及冻得通红的脚背。跑起来刺痛,麻木,冰冷。......
5.7万字8个月前
每天都是上上签 连载中
每天都是上上签
Lily酱
热情优美的文案小馆疗效:专治各种不开心,颓废。使用方法:打开目录,闭上双眼,深呼吸、抽签哦!愿美好与阳光陪伴你的每一天。观迎各位小主入馆参观......
0.3万字8个月前
师尊难为,徒儿多娇 连载中
师尊难为,徒儿多娇
周花
(1v1)(已签约)穿书前,楚烟是个潇洒自在,粉丝无数的三金影后,是个御姐范十足的宠粉狂魔。穿书后,为了任务被迫宠反派徒弟,宠着宠着人家被她......
4.4万字8个月前
穿越的爱没有结尾 连载中
穿越的爱没有结尾
是夜幕降临呀
【已签约】【本书连着三季,不喜勿喷】我不小心到了吸血鬼的世界,在这里我遇到了他。亏我命大,这里有我的情敌。浩然和长公主的爱情寥寥结束。魏江的......
5.4万字8个月前