稳定性理论的一个引理

以下均假设 T 是可数语言的完备理论。

稳定理论：设 κ 为无穷基数。称 T 是 κ 稳定理论, 如果对任意 𝕸 ⊨ T 及任意 A⊆M ， |A|≤κ时对于任意 n∈ω 有 |Sᴬₙ(T)|≤κ 。

定理：如果 T 是 ω 稳定理论，那么T 是 κ 稳定理论。

证明：反证法，如果存在模型M⊨T 且存在 A⊆M 满足 |A|≤κ和 |Sₙ(T)|＞κ ，由于 |𝕷ᴀ|＝κ ，那么存在公式 ψ∈LA满足 |[ψ]|＞κ 。

下面求引理：存在公式 ϕ 满足 |[ψ∧ϕ]|＞κ 且 |[ψ∧¬ϕ]|＞κ ；否则令 Γ＝{ϕ∈𝕷ᴀ：|[ϕ∧ψ]|＞κ} ，那么有ϕ∈Γ∨¬ϕ∈Γ ，即 Γ 是极大一致公式集。假设 Γ 对有限交封闭，那么公式集 Γ∪Th(𝕸ᴀ) 是一致的，因此 Γ∈Sᴬₙ(T) 。由于 [ψ]＝{Γ}∪⋃φ∉Γ[ψ∧φ] ，那么 |[ψ]|＝κ ，矛盾，反证 Γ 对有限交不封闭。因此存在公式 ϕ₁，⋯，ϕn∈Γ 且 ψ∧ϕ₁∧⋯∧ϕₙ ∉Γ ，因此有 |[ψ∧¬ϕᵢ]|＞κ 。

根据引理，我们可以得到一个递归序列：由于 |[ψ∧ϕ]|＞κ 和 |[ψ∧¬ϕ]|＞κ |[ψ∧¬ϕ∧φ]|＞κ ，那么存在公式 χ 和 φ 满足 |[ψ∧ϕ∧χ]|＞κ 和 |[ψ∧ϕ∧¬χ]|＞κ ， |[ψ∧¬ϕ∧¬φ]|＞κ ，由此可得无穷二叉树。二叉树上所有公式的枚举为 ϕ，¬ϕ，χ，¬χ，⋯ ，即二叉树上只出现可数个公式，令 A′＝{α∈A：∃σ，α在σ中出现} ，可得 |A′|＝ω ，但 |Sᴬ′ₙ(T)|＝2ω ，这与 T 是 ω 稳定理论矛盾，反证定理成立。

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