可数饱和模型的一个引理

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我们称公式 ψ(x→) 是完备理论 T 的完备公式，当且仅当， ψ 与T一致且对于任意与 ψ 含有相同自由变元的公式 ϕ 都有 T ⊨ ψ→ϕ 或者 T ⊨ ψ→¬ϕ 。称公式 ψ 是 T 可完备的，当且仅当，存在一个完备公式 ϕ满足 T ⊨ ϕ→ψ 。

定理：对于可数语言的完备理论 T ，如果 T 有可数饱和模型，那么每个公式都是 T 可完备的。

证明：反证法，如果有公式 ψ 不是T可完备的，那么存在 ϕ 满足 T⊬ψ→ϕ 和 T⊬ψ→¬ϕ ，否则 ψ 就是T的完备公式且 T⊨ψ→ψ ，这与假设矛盾。因此 T，ψ∧¬ϕ 与 T，ψ∧ϕ 一致。如果 ψ∧ϕ 是T可完备的，那么存在完备公式 σ满足T⊨σ→ψ∧ϕ ，矛盾，因此 ψ∧ϕ 与 ψ∧¬ϕ 都不是 T 可完备的，根据定义可得存在公式 φ 满足 T,ψ∧ϕ∧φ 和 T，ψ∧ϕ∧¬φ 一致，以及公式 χ 满足 T，ψ∧¬ϕ∧χ 与T，ψ∧¬ϕ∧¬χ 一致……递归可得一个完全二叉树，得 T 有连续统基数个类型扩展。又因为可数饱和模型只能实现可数个不同的型（因为可数模型的有穷序列可数），这与 T 有可数饱和模型矛盾，因此 T 没有可数饱和模型。

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