数学论文（关于集泛多重宇宙） (12-1)

摘要：强制方法是证明一致性的有力工具关于集合公理一致性的集合论断言学说Laver定理和Bukovsk´y定理断言集合是一般的给定地面模型的扩展构成了一个相当合理的集合论的一类足够一般的标准模型。在本文的第2和第3节中，我们给出了Bukovsky定理的一个证明在现代环境中（这个定理的另一个证明见[4]）。在节中4我们检验集合泛型扩展的多元宇宙是否可以被处理作为保守扩张中的可数传递模型的集合ZFC。最后一节讨论的是无穷多个独立按钮，产生于模态理论J.Hamkins和B.Loewe[12]对集合一般多元宇宙的方法。

1.作为集合论的强迫扩张范畴

多元宇宙强迫方法是证明集合论一致性的有力工具相对于集合公理的（一致性）的（即数学的）断言学说如果集合论的LZF语言中的一个句子σ被证明是相对的。通过一些强迫论证与集合论（ZFC）的公理一致在希尔伯特严格的有限论观点的意义上是这样的：强迫证明可以被重新转换为算法A，这样，如果一个的形式证明P如果给定了ZFC+σ的矛盾，则我们可以用A对ZFC甚至ZF单独矛盾的另一个证明的帮助。

然而，“工作集理论家”更喜欢看到他们的强制性论点不仅仅是关于形式系统中公式操作的讨论，而是关于他们“生活”的“真实”数学宇宙。因此，强迫它们是一种扩展集合论宇宙的方法，其中它们最初对许多人“活着”（地面模型，通常表示为“V”）（实际上比V意义上的许多类）集合论的不同模型称为V的一般扩展。实际上，一个泛型扩展族是为某些V可定义偏序P构造。每个这样的一般扩展首先通过固定所谓的一般滤波器G来获得在P之上，坐在V之外，对V有一种“一般”的超越，以及然后通过将G添加到V来生成一个新的结构——通用扩展V的V[G]，它也是ZFC的一个模型。通常这个取泛型的过程集合论某些模型上的推广甚至无限重复多次时间。因此，一个进行强迫建构的集合论者被认为是活着的，同时在集合论的许多不同模型中。这表现在许多关于强迫的技术性论述，读者经常会发现叙事以短语开头，比如：“在V[G]中工作，…”，“让α＜κ是这样的x在第α个中间模型V[Gα]中，并且…”，“现在回到V，…”等。

尽管这种“多元宇宙”的强迫观在某种意义上只是一种方式洛芬迪，研究这个多元宇宙的可能图片是值得的se。已经在这个方向上进行了一些初始移动，例如在[1]、[2]、[5]、[6]中，[7] ，[8]，[11]，[12]，[21]，[24]等。“多元宇宙”一词可能起源于Woodin的作品，他认为“集合通用多元宇宙”，“类”形成给定初始宇宙V的闭包的集合论宇宙集下一般扩展和集一般地面模型。有时我们也必须考虑集合通用多元宇宙的星座，其中V不能被重构为一些甚至任何适当的集合的泛型扩展V的内部模型。要处理这种情况，考虑一下更方便扩展的通用多元宇宙，其中我们还假设多元宇宙是也在可定义的内部模型的构造下闭合。

集合通用宇宙应该与“类通用多元宇宙”区分开来，后者以相同的方式定义，但涉及类强制扩展和基础模型，以及类通用扩展的内部模型它们本身不是类泛型的（参见[5]）。甚至可以通过考虑条件为类的强迫，即所谓的超类，来超越类强迫强制力（见[6]）。关于多元宇宙，最广泛的观点是用[7]表示，其中“超宇宙”由所有宇宙组成它们与初始宇宙（被认为是可计数以促进新宇宙的构建）。超宇宙是在所有强迫的观念下封闭。

在本文中，我们将注意力限制在集合泛型多元宇宙上。这个建立了集合泛多元宇宙问题的适定性通过我们在第2节中讨论的Laver和Bukovsk´y定理。这些定理证明了的集一般扩张和集一般基模型给定的宇宙代表一类具有自然特征的模型。

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