特殊篇章（数学基数假设与证明文章） (2-2)

下面的结果应该都是已知的。但这里我们用 WC 表示workdly cardinal。

下面的命题是显然的。

命题 1：ZFC+ ∃ WC ⊢

Con(ZFC+Con(ZFC)).

我们用I表示不可达基数。显然每一个不可达基数都是WC，因此：

命题2: ZFC+ ∃I ⊢ ∃ WC.

但是最小的WC严格小于最小的I。

命题3：如果 κ 是不可达的，则存在世界基数 λ＜κ 。

证明：假定 κ 不可达，有Skolem定理(及其构造方法)，存在可数模型 M0≺Vκ以及 η0＜κ 使得 M0∈Vη0 。

一般地，对于任意 i , Mi≺Vκ 以及 ηi＜κ使得 Mi∈Vηi , 存在模型 Mi+1∈Vηi+1使得 Mi+1≺Vκ 并且 Vηi⊆Mi+1 。

令 λ=⋃iηi＜κ 。

显然 ∀i(Mi≺Mi+1) 。

因而有模型论基本知识， ⋃iMi≺Vκ 。

有构造，我们知道 Vλ=⋃iMi 。

因此 Vλ≺Vκ 从而是ZFC的模型。

因而 λ 是WC.

由Godel不完备性， ZFC+Con(ZFC)不能证明 ∃ WC.

同样Con(ZFC+ ∃ WC)也不是ZFC+Con(ZFC)能证明的。

由命题3, 我们有以下推论：

推论3.1: ZFC+ ∃ I ⊢ Con(ZFC+ ∃ WC).

因此WC的协调性强度是严格弱于不可达基数的。

由命题3的证明，我们可以推断最小的世界基数具有共尾性 ω 。

还有人提及以下定义：

定义2：一个序数 α 是可扩的，如果存在 β＞α 使得 Vα≺Vβ 。

我们用EC表示可扩基数。

显然命题3中的 λ 就是可扩的。

并且可以构造在 κ 下另外一个 λ′＞λ 使得 Vλ≺Vλ′≺Vκ .

ZS Chen 在评论里提到了Joel Hamkins给了关于可扩基数的比较完整的描述(The otherwordly cardinals)。

其中下面这个定理澄清了EC的强度

定理1 (Hamkins)：EC ⊆ WC，并且每一个 EC下面都有一个WC严格小于它.

注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在EC的协调性，但是I ⊈ EC.

例如最小的不可达基数不属于EC。

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