数学论文（关于集合中新公理的自然性学说） (11-4)

•外在原因：公理的辩护责任在于成功地将其用作一套理论原则。公理是外在的如果它的有效性被许多数学事实所证实，并且能够以给出新的有趣的数学结果。预测确认该模型是经验科学的典型，它在纯粹的数学环境中找到了自己的位置。在这种辩护行为中使用了一种更为归纳的推理-阳离子。论点的客观性取决于能否给出用数学方法解释数学现象法律。

一个由内在和外在原因隐含支撑的方面是辩护策略的描述性特征。事实上，两者都是内在的，当我们打算证明的原则是能够适当地描述集合或的概念的各个方面设定理论现实。出于这个原因，这种二分法完全符合上下文关于我们之前描述的概念现实主义：现实主义成分被表达出来，此处由描述性字符的引用组件表示，而概念的性质的存在，或者数学现实是可以通过其后果来描述，它预设了一个稳定的概念水平。

更具体地说，内在原因预设了一个概念的稳定性，客观性独立于我们的正式陈述，但这能够单独告知接受新公理的标准。事实上，内在原因通过概念的独立存在和通过形式化工具描述其本质特征的可能性。

此外，更有趣的是，我们认为外在的原因也预设了一种现实主义形式：一种将数学同化为自然的现实主义科学。事实上，被命名为外在论点的形式在纯粹的数学环境中，类似于最佳解释的推论。事实上，既定的理论原则有很多想要的结果由于他们的成功，迫使我们接受他们，这可以被视为一种确认通过实验得出的假设。公理由定理和而不是相反。在外在辩解的行为。公理是用来描述这样一个稳定的数学现实及其真理建立在反映概念之间独立有效关系的可能性之上。这种形式的正当性与罗素在1907年的演讲中对基础研究的描述发现数学前提的回归方法。

但当我们进一步推动分析，并达到更终极的前提时，明显性变少，与其他科学变得更加明显。各种科学的主题各不相同，但就方法而言，它们似乎只在三部分之间的比例上有所不同每门科学都包括（1）“事实”的登记是我所说的经验前提；（2） 归纳发现符合事实的假设或逻辑前提；（3） 扣除额来自事实和假设的新命题12。

数学语境中经验主义的这种形式是紧密联系在一起的与我们之前描述的概念现实主义。一个类比确实是假定的夹在数学现实和物理现实之间。Axioms旨在描述数学现象，就像自然中的定律一样，在这两种情况下，分别是数学概念和物理概念充当“现实”与其形式化之间的桥梁。

现在，把自然性放在哪里内在-外在二分法提出的概念和现实？我们的建议-手势的答案是公理的自然性是由内在的以及外在原因；这暗示了这种二分法的弱点以及自然性概念的独特性。事实上，明确的参考把一个自然的特性归于一个数学可以这里指的是集合概念的性质，在本质原因的情况下，或者，在外在原因的情况下，达到一个足够稳定的理论现实就像自然界一样，我们可以用一种归纳的方式来描述模仿推理得出最佳解释的推理。

将自然性归因于公理候选者似乎强调了接受现实主义视角以及与语义层面，其本质方面被公理化地描述。然而我们对自然性的讨论旨在传达这种描述性的一面只是显而易见的。事实上，我们会争辩说，自然性的归属是这意味着数学工作的一个规定性动作。事实上，浅析自然一词在数学实践中的运用这表明，即使从现实主义的角度来看公理需要一个动态的框架，而静态的概念现实主义则不能容纳

在提出我们对自然性的看法之前，讨论一下论证标准策略的难点。现在“标准”可能是从理论上更准确地理解为一种基于概念现实主义，并利用内在-外在的二分法对论据进行分类，以支持新的候选公理。

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