数学论文（柏拉图主义与集合论终极宇宙） (8-1)

柏拉图主义和集合论终极宇宙

假设V=终极L，则连续统假设为真，并且所有关于集合论的独立性问题都可以还原为有关更大无穷的公理，它还为集合论提供了一个对科恩力破免疫的公理化基础。在这个意义上，这将是哥德尔纲领的一个实现。更进一步，如果V=终极L是真的，那么就存在一个独特的集合论模型，从某种意义上说它就是真实的集合宇宙。这-事实本身说明集合的宇宙是一个确定的客观实在，可以看作是支持柏拉图主义的证据。

本文打算讨论这样的一个问题:哥德尔所坚持的柏拉图主义如何影响着在他之后的数学基础研究，特别是集合论的研究。一方面，将柏拉图主义作为工作假设在很大程度上影响了集合论发展的走向，另一方面，这些研究的一些出人意料而又极具意义的重大进展又在一定程度上为柏拉图主义做出了有力的辩护。哲学和数学之间这样显明的关联是不多见的，在我们看来对这类关联的研究是数学哲学中最有意义的课题之一。

在讨论正题之前，针对数学中的柏拉图主义和数学哲学研究的方法论问题，我们想先谈一点看法，因为在现有的数学哲学研究中，大家的出发点和研究问题方式是很不相同的。

首先，本文不打算就哥德尔本人的强实在论立场作深入的讨论。哥德尔的柏拉图主义，在他1944年的“罗素的数理逻辑”([2])中就有所显示。在罗素篇中，哥德尔引用了罗素将逻辑学与自然科学在本体论上的类比，“逻辑学一如动物学，它研究实在的世界，不过是研究其更抽象、更一般的特点而已”([6]);提到在认识论上的类比，逻辑和数学的公理不必非得具有自在的显明性不可，而是可以从如下事实获得核证，它们的后承与数学史的发展中被发现为自明的东西相符合。哥德尔评论道:“这个观点已然大体上为后续的发展所核证，而将来可望获得更多的核证”。近些年集合论的发展，似乎为哥德尔的预言做了进一步的核证。如同罗素(早期的)这种实在论观点一样，我们认为对科学这个概念不能仅仅理解为实验科学或自然科学，而是要把数学这样的以抽象概念为研究对象的科学包括在内。因此，数学哲学与物理学哲学和生物学哲学一样，是科学哲学这一大类中的一员，而不是分析哲学或者其他什么哲学的一个分支。

在方法论上，仅靠分析数学的语言只能把握数学思想(或是数学哲学思想)很小的一部分，而且通常是在该数学领域发展成熟之后才可以进行。元语言和对象语言的划分特别能说明这一点。虽然，理论上我们在数学中可以使用严格化的形式语言作为对象语言，但是却不可能有完全形式化的元语言。当我们对形式化的数学做分析时，工作于其中的元理论是非形式化的，这个元理论的边界卜分模糊。虽然有哲学家认为元理论包含了严格无穷的数学，但没有证据表明，严格无穷的数学就是数学的全部。即便是在形式系统内部，数学家的工作也不是借助推理的规则推演出那些定理。更多的情况是通过对数学世界的某种直观或认知，猜想或者断言某些事实是真的，然后再以证明的方式去验证。本文涉及的集合论中的-些最新的进展特别表明了这一点。

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