数学论文（Woodin基数的存在） (12-2)

在这里的段落中，他旨在实现“完成的事情”或一致的事情套。例如，所有alephs的多重性不能构成一个完整的集合和因此不能分配基数。（关于这一概念的讨论，见[8]Zusammensein。）

用今天的行话来说，我们应该称之为“适当的阶级”。这并没有表明康托尔不再认为集合论宇宙是一个“不可分割的整体”，他早些时候打过电话。（另一种描述是，这是一个“绝对最大值”（[4]，第410-411页））。我们不能完全清楚康托尔在以这种预先形式化的方式讨论集合宇宙时的想法，但它显然不同于泽梅洛的景色。泽梅洛最成熟的画面来自于他的[25]。观点是只有集合，并且这些集合满足，让我们在这里说，一阶ZFC（尽管Zermelo关注的是推广二阶观点，并避开了一阶Skolem等人的煽动）。对于Zermelo来说，唯一的收藏品是布景。对于Zermelo当我们进行集合论时，我们的量词范围在话语D的一个领域上。

“悖论”向我们表明，集合D不可能是其自身的一员。因此我们可以将这个域扩大到话语D0的一个更大的域，其中D是一个集合。

因此，用他的话来说，我们有一个永无止境的“正常域”序列二阶ZF的模型，（因此它们的有序高度是强烈不可访问的基数）；这些域的序列可以通过康托序数来索引。

Zermelo谈到了当一个人通过这些领域前进时的“创造性进步”；和我们应该在一些元理论中讨论这样一个域序列。然而这种元理论从未被提出，远远超出了正常域的指示应与Cantonian ordinals保持（1-1）对应关系。

然而，这些不同的观点给了我们至少两幅关于集合宇宙的粗略画面：一幅“潜在主义者”观点——泽梅洛的创造性进步，另一幅“现实主义者”观点-集合的宇宙是一个绝对极大值和一个不可分割的整体。可以讨论这些与任何有关的立场无关的观点柏拉图主义或现实主义。

3.反射

潜势论观点使得它很难适用于大多数类型的反射原理。泽梅洛不能考虑整个宇宙，也不能反思它，因为对他来说总是有可能使宇宙变得更大。这里只能说有无限多的正规域（在Mirimanoff/von Neumann之后，我们现在应该将其识别为Vκ’s），因此有一类适当的强不可访问域大基数。但即便如此，泽尔梅学派的追随者也无法获得反思的结果：陈述“∀α∈On∃β>α（ZF2）Vβ”表达了对所有序数的量化，而这正是这种有机观点所不能做到的。这个然而，通过允许的二阶反射，可以很容易地获得语句整个（‘实际’）宇宙（V，∈）。

通过允许所有集合和所有类的域——正如NBG所说的那样——我们现在能够对所有这些类进行二阶量化，并形成反射产生Mahlo基数的原理，以及二阶不可描述性。的故事。这已经很熟悉了，我们不再重复了。

重点仍然是，所有这些原则只导出与V=L-所以我们可以称之为内部可构造的。

G¨odel表示，他认为所有的大基数都可以通过反射得到：

集合的宇宙不能唯一地刻画（即区分从其所有初始段）的任何内部结构特性它的隶属关系，可以用有限或的任何逻辑表示超限类型，包括任意基数的无穷大逻辑。（ω-[23]）G¨再次建模：

所有建立集合论公理的原理都应该可以归结为阿克曼原理的一种形式：绝对是不可知的。

随着我们越来越强大，原则的力量也在增强集合论的系统。其他原则只是启发式原则。

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