特殊篇章（哥德尔可构造宇宙） (11-1)

序数:超限数

I ∅是最小序数:这是0。

I {∅}是下一个序数:这是1。

{∅，{∅}}接下来依次是:这是2。

如果α是序数，那么

I α是所有序数β的集合，使得β小于α，

Iα+1 =α∨{α}是第二大序数。

ω表示最小无限序数​，它是所有有限序数的集合。

集合的宇宙

发电机组　

假设X是一个集合。X的幂集​是集合

P(X) = {Y Y是X的子集​}。

集合的累积层次

集合的论域V是通过归纳on定义Vα而生成的序数α：

1.V0 = ∅，

2.Vα+1 = P(Vα)，

3.如果α是一个极限序数​，那么Vα =Sβ<α Vβ。

如果X是一个集合，那么X ∈ Vα对于某个序数α。

I V0 = ∅，V1 = {∅}，V2 = {∅，{∅}}.

这些只是序数:0，1和2。

I V3有4个元素(很明显不是序数)。

I V4有16个元素。

I V5有65，536个元素。

I V1000有很多元素。

Vω是无限的，它是所有(遗传的)有限集的集合。

Vω的概念在数学上等同于

结构的概念(N，+，):

一个结构可以在另一个结构中被解释。

超越基本公理​:大基数公理​

塑造V的概念

一、集合论​的ZFC公理正式规定了集合论的创立v的概念原则。

ZFC公理自然被附加的公理所扩充

断言“非常大的”无限集合存在的公理。

这样的公理断言大基数的存在。

这些大枢机主教​包括:

一.可衡量的基数

强壮的红衣主教

我是红衣主教

我是超强红衣主教

我超级紧凑红雀

I .可扩展的红衣主教

我是大红雀

Iω-巨大的红雀

基数:测量集合的大小

定义:当两个集合的大小相同时

两个集合X和Y有相同的基数，如果有一个

X元素与Y元素的匹配。

形式上:如果有双射，X = Y

f : X → Y

假设选择公理​是ZFC公理之一：

定理(康托尔)

对于每个集合X，都有一个序数α，使得X = α。

连续统假说：CH

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