补丁（1）简介论文 (9-1)

构建数学和物理基础的范畴论：用「等价」取代「相等」丨众妙之门

　　等号是数学的基石，数学中的相等（equality）似乎是最没争议的概念。但越来越多的数学家开始认为，等号是数学的原初错误，他们想要用等价（equivalence）的语言重新表述数学，不是关注描述对象的具体方式，而是将对象相互关联的各种不同方式考虑在内。这种关注等价性的数学理论就是所谓的范畴论（category theory）。

数学家 Jacob Lurie 先后写作了944页的《高阶范畴论》和1553页的《高阶代数》来阐述范畴论的思想，这两本程碑式著作的影响被认为堪与格罗滕迪克的代数几何革命相提并论。但新思想的提出也带来了巨大的挑战：数学界要如何吸收这些新知识？当数学被重新书写时，数学家群体要如何应对？知识的真正目的到底是什么？

事实上，范畴论除了作为一种极端抽象的数学理论之外，也已经应用到了物理学领域来描写多体量子纠缠（也就是拓扑序）这种全新的自然现象。在后记中，「返朴」总编文小刚教授、深圳量子科学与工程研究院孔良研究员介绍了数学和物理之间这种深刻的关联，他们认为，这个时代是数学和物理融合的黄金时代。

撰文 | Kevin Hartnett

翻译 | 唐璐

等号是数学的基石。它似乎构成了一个完全基本和无可争议的命题：这些东西是完全一样的。

但越来越多的数学家认为等号是数学的原初错误。他们将其视为一种虚饰，它掩盖了量的相关方式中重要的复杂性——这些复杂性可以揭示大量问题的答案。他们想用等价这种更宽松的语言来重新表述数学。

杜克大学的乔纳森·坎贝尔（Jonathan Campbell）表示：“我们一直用的是相等（equality）的概念，其实应当是等价（equivalence）。”

这些数学家中最杰出的是雅各布·卢里（Jacob Lurie）。今年7月，41岁的卢里离开了他在哈佛大学的终身职位，前往新泽西州普林斯顿高等研究院任教，那里云集了世界上许多最有声望的数学家。

卢里的思想在任何领域都是空前绝后的。他用厚达千页的专业著作，通过超越等号，构建了一个明显不同的方式来理解一些最重要的数学概念。卢里的导师、哈佛大学数学家迈克尔·霍普金斯（Michael Hopkins）说：“我想他认为这才是思考数学的正确方式。”

卢里在2009年出版了他的第一本书《高阶范畴论》（Higher Topos Theory）。这本944页的书就像一本手册，教你如何用新的“无穷范畴（infinity categories）”的语言来解释已经建立起来的数学领域。在那之后的几年里，卢里的思想影响到越来越广泛的数学领域。许多数学家认为它们对数学的未来是不可或缺的。西北大学的约翰·弗朗西斯（John Francis）说：“一旦学会了无穷范畴，就没有人会回头。”

IAS数学家雅各布·卢里在2014年获得了300万美元的数学突破奖。| 图片来源：麦克阿瑟基金会

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