翻译版（玄宇宙计划原文）超宇宙计划 (8-6)

塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-大卫·弗里德曼

关于大基数的综合猜想并不被看作是与人们关于“所有集合的系统”的最大期望相矛盾的。

正如前面所讨论的，在超宇宙计划中，V中不存在非常大的基数(高于可测量的)不仅被认为与关于ZFC模型的最大期望相兼容，它也被认为是与事实集合论真理相容的。这源于对大基数假设在当代集合论中所起作用的谨慎考察，导致了这样的观点：尽管大基数在集合论中以多种方式出现，但它们的重要性源于它们在内部模型中的存在。事实上，当证明ZFC的大基数扩展的一致性强度落入一个有序的层次时，只需考虑内部模型中的大基数存在。这也是一致性上下界结果的情况，这是集合论中最重要的大基数用法。对于上界结果，我们从包含大基数的ZFC模型M开始，然后通过强制产生一个外部模型M[G]，其中一些重要的陈述成立。请注意，在结果模型中，大基数可能不存在；它们只存在于一个内部模型中，也就是原始的M。当然，我们不必假设初始的M就是完整的宇宙V，它是任何具有大基数的内部模型就足够了。在下界结果中，我们从满足感兴趣陈述的模型M开始，然后构造具有大基数的内部模型；这就是Dodd-Jensen核心模型程序；参见[12]。正如Steel所指出的，“我们不知道如何比较PFA的一致性强度和Lebesgue测度的完全扩展的存在，除非将它们与大基数层次联系起来”([20])。脚注22，p.427页)。通过援引这一事实，他补充说：“大基数阶层是必不可少的”。然而，在证明使大基数“必不可少”的一致性结果时，人们只假定它们存在于内部模型中。’7类似的参数适用于内部模型程序。其目的是证明，如果大基数存在于V中，那么它们也存在于行为良好的内部模型中；这相当于表明如果大基数存在于内部模型中，那么它们也存在于更小的、行为良好的内部模型中的程序。

对上述观点的一个可能的反对意见是，人们在V中使用大基数，而不是在内部模型中，来证明确定性公理的形式，如PD，所有射影实数集的确定性。断言PD是“真的”有两个常见的理由，一个理由是基于“关于集合论中大基数的作用的类似观点是由Shelah表达的。

＿＿＿＿＿

¹⁷看见[19].在[23]中表达的一个相反的观点是，相信大的基本公理的一致性的唯一基础是相信它们在V中的真理。然而，Woodin的论点是建立在大无限和大有限集之间的错误类比上的。的确，大的有限集的存在是由它们的一致性所暗示的；这仅仅是因为V，没有合适的内模型，因此大的有限集的存在与它们在内模型中的存在是相同的。对于大的无限，情况显然不是这样。

超宇宙计划

95

外推：由于Borel和解析集是行为良好的(在某种意义上，它们是Lebesguc可测的，并且具有Baire和完全集性质)，PD将其推广到所有射影集，那么PD一定是真的。但对这一论点有明确的反驳。例如，考虑levy-Shoenfield绝对性，Σ¹₂关于任意外部模型的]语句的绝对性。这在ZFC中是可证明的，即使允许任意实参。外推自然会导致Σ¹ʀ.具有任意实数参数的绝对性。但是，Σ¹₃即使具有任意实参量的绝对性也是假的。对于任意的实参数，只有人为地将“外模型”理解为“集合-广义外模型”，才能得到一致的原理，一旦将其放宽到类-广义外模型，则该原理就变得不一致。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。