特殊篇章世界基数（第二方案） (15-1)

世界基数

称 κ 是世界基数，当且仅当 Vκ ╞ ZFC 。

第一方案构造：

马洛基数

称 κ 是马洛基数，当且仅当对任意无界闭集 C⊆κ 均存在一个正则基数 α∈C ，κ 中正则基数的集合也因此称作 κ 的驻集。

第二方案构造：

马洛基数

对于所有K，正则基数 β 的初始段（即 β 以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。

也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集

取驻集族为{a {0,1} 都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。

第一方案构造：

不可达基数是强弱不可达基数的统称。如果κ是不可数的、正则的极限基数，则称κ是弱不可达基数；如果κ是

不可数的、正则的强极限基数，则称κ是强不可达基数。这两类大基数合称不可

达基数（或不可到达基数），也有文献只把强不可达基数称为不可达基数。不可达基数的概念是波兰数学家谢尔品斯基(Sierpiski，W.)和波兰学者塔尔斯基

(Tarski，A.)于1930年引入的。由于任何基数λ的后继基数λ+不超过λ的幂2λ，所

以每个强不可达基数必为弱不可达基数；又由于在广义连续统假设GCH之下，λ+=2λ，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数。之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们。事实上，若κ是强不可达基数，又集合X的基数|X|＜κ ,则幂集P(X)的基数也小于κ；又若|S|＜κ，且对每个X ∈ S，|X|＜κ，则|∪S|＜κ。这就是说，由小于κ的基数，无论进行何种运算，总达不到κ。可数无穷基数N0也具有上述两条性质，因此，也可以说在有限基数的范围内，用除去无穷公理之外的任何集论运算，N0也是“不可到达”的。这就清楚地看出，不可达基数确实是无穷基数0的一种自然推广。

第二方案构造：

不可达基数

假设 κ 是最小的不可达基数，那么 {α＜κ:cf(α)=α} 不是 κ 的平稳子集，因为 {α＜κ:cf(α)＜α} 作为 κ 的无界闭子集与其相交为空。 若 κ 是第 α＜κ 个不可达基数，{α＜κ:cf(α)=α} 依旧不是 κ 的平稳子集，取 κ 中最大的不可达基数 λ ，{α＜κ:λ＜α} 作为 κ 的无界闭子集与其相交为空。

因此，倘若 {α＜κ:cf(α)=α} 是 κ 的平稳子集，那么 κ 会是第 κ 个不可达基数。

假设 V⊨ZFC ，对任意公式 Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,定义函数 fφi:Vn→V

若 Q1x1 为 ∃x1 ，并且 V⊨Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,则 fφi(xm+1,…,xn) 为秩最小的使得 ∃x∈VαQ2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若这样的 x 不存在，则为 0

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