第三篇章终极集合论宇宙（V=UltimateL） (9-8)

　　1.lsthereasimplecandidatefortheaxiomⅤ=Ultimate-L”？

　　2.lsUltimate-Levenagoodpartial-extendermodel？

　　UniversallyBairesets

　　Definition（Feng-Magidoe-woodin）

　　AsetA⊆RisuniversallyBaireifforalltopologicalspacesΩandforallcontinuousfunctions：Ω→R.thepreimageofAbyπhasthepropertyofBaireinthespaceΩ.

　　⇨UniversallyBairesetsareanabstractgeneraliＩationoftheborelsets.

　　Theorcm

　　SupposethatthereisaproperclassofwoodincardinalsandthatA⊆RisuniversallyBaire.Theneveryset

　　B∈L（A，R）∩Р（R）

　　isuniversallyBaire.

　　HODᴸ（ᴬᴿ）andlargecardinalaxioms

　　Definition

　　SupposethatA⊆RisuniversallyBaire.

　　ThenΘᴸ（ᴬᴿ）isthesupremumoftheordinalsαsuchthatthereisasurjection.π：R→α.suchthatπ∈L（A，R）.

　　⇨Θᴸ（ᴬᴿ）isameasureofthecomplexityofA.

　　Relnrme

　　SupposethatthereisaproperclassofwoodincardinalsandthatAisuniversallyBaire.

　　ThenΘᴸ（ᴬᴿ）isawoodincardinalinHODᴸ（ᴬᴿ）.

　　HODᴸ（ᴬᴿ）andthelnnerModelprogram

　　Theorcm（Steel）

　　Supposethatthereisaproperclassofwoodincardinalsandletδ=Θᴸ（ᴿ）.

　　ThenHODᴸ（ᴿ）∩VδisaMitchell-Steelmodel.

　　Theorcm

　　Supposethatthereisaproperclassofwoodincardinals.

　　ThenHODᴸ（ᴿ）isnotaMitchell-Steelmodel.

　　Thereisanotherclassofsolutionstotheinnermodelproblemforlargecardinals.

　　⇨strategicpartial-extendermodels

　　⇨previouslyuhknown.

　　TheaxiomforV=Ultimate-L

　　（meta）Conjecture：TheaxiomforV=Ultimate-L

　　⇨Thereisastrongcardinalandaproperclassofwoodincardinals.

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