第三篇章终极集合论宇宙（V=UltimateL） (9-6)

η＜α.if

　　X≺（Lα[E].E∩Lα[E]）

　　istheelementarysubstructuregivenbytheelementswhicharedeflnablewithparametensfromηthen.

　　Χ≅（Lᵦ[E].E∩Lᵦ[E]）

　　for some β.

　　⇨lfL[E]isagoodpartial-extendermodelthenthecontinuumHypothesisholdsinL[E].

　　Mitchell-Steelmodels

　　⇨Thebasicframewcrkforgoodpartial-extendersmodelsforlargecardinalsuptothelevelofsuperstrongcardinalsoriginatesintheconstuctionsofMitchellandSteel.

　　⇨ThereisanimportantvaiationduetoJensenwhichisequivalentbutyiekjsmodelswithstrongercondensationproperties.

　　Theeorem（MitchellSteeletal）

　　Assumethereisaproperclassofwoodincardinals.Thenthereisapartial-extendermodelL[E]foraproperclassofwoodincardinalssachthat

　　（1）Eisweakly∑₂-definable.

　　（2）L[E]isagoodpartial-extendermodel.

　　Theorem（Mitchell-Steeletal）

　　AssumetheltenationHypothesisandthatthereisaproperclassofsuperstrongcardinals.Thenthereisapartial-extendermodelL[E]foraproperclassofsuperstrongcardinalssuchthat

　　（1）Eisweakly∑₂-definable。

　　（2）L[E]isagoodpartial-extendermodel.

　　Conjecture

　　AssumethelterationHypothesisandthatthereisanextendibiecardinal.Thenthereisapartial-extendermodelL[E]forasupercompactcardinalsuchthat

　　（1）Eisweakly∑₂-definable.

　　（2）L[E]isagoodpartial-extendermodel.

　　Afirststep

　　Theorem

　　AssumethereisasupercompactcardinalandthatthelterationHypothesisholds.Thenthereisapartial-extendermodelL[E]suchthat

　　（1）Eisweakly∑₂-deflnable。

　　（2）L[E]isagoodpartial-extendermodel.

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