第三篇章终极集合论宇宙（V=UltimateL） (9-1)

终极集合论宇宙（V=UltimateL）

　　TheMostowskiCollapse and the lnner Model

　　program

　　w.Hughwoodin

　　usiversity of CaEtyaia BerLeley

　　October 11.2013

　　TheMostowskiCoollapse

　　Theorcm

　　Suppose Mis atransitivesetandΧ≺M.Tbenthereisa unique transitve set Nand isomorphism

　　π：N≅Χ.

　　ThegentrallＩatiorsof the Mostowski Collapseareubiquitousin set Theory.

　　The Universeofsets

　　Thepowersct

　　suppose Χ is a set 。The powerset of Χ is the set

　　Р（X）={Y丨Y is a subset of Χ}.　

　　　CumuJativeHierarchyofScts　TheunherseVofsetsisgeneratedbydeflningVαbyinductionontheordinalα：

　　1.V₀=∅.

　　2.Vα+1=Ρ（Vα）.

　　3.ifαisalimitordinalthenVα=Uᵦ＜αVᵦ.

　　⇨EverysetbeloegstoVαforsomeordinalα.

　　Logicaldefinabilityfromparameters

　　BchedDooset

　　SupposeΧisatransitiveset.AsubsetΥ⊆Χislogicallydeflnablein（Χ，∈）fromparmetersifforsomeformula φ[x₀……x₀]andforsomeparametersa₁……a₂∈Χ，

　　Υ={a∈Χ丨（Χ，∈）╞ φ[a，a₁……a₀]}

　　Thedefinablepowerset

　　ForeachsetΧ，Рᴅel（Χ）denotesthesetofallΥ⊆ΧsuchthatΧislogicallydtfinableinthestructure（Χ，∈）fromparametersinΧ.

　　⇨（AxiomofChoice）Рᴅel（Χ）=Р（X）ifandonlyifΧisflnite。

　　⇨Рᴅel（Vᴊ+1）∩Р（R）isexactlytheprojectivesets.

　　Theeffectivecumulativehierarchy：L

　　Gōdd＇sconstructibleuniverse.L

　　DefineLαbyinductiononαasfollows.

　　1.L₀=∅.

　　2.（Successorcase）Lα+1=Рᴅel（Lα）.

　　3.（Limitcase）Lα=∪{Lᵦ丨β＜α）.

　　ListheclassofallsetsΧsuchthatΧ∈Lαforsomeordinalα.

　　Theorem（Gōdel）

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