第七章柏拉图主义 (2-1)

数学中的柏拉图主义：柏拉图主义者认为数学的研究对象是一种实在的对象，它存在于我们的意识以外，不会因为主观意识而改变。尤其是对于我们所认知的集合论宇宙来说，他们认为ZFC只是在试图描述那个实在的对象，从而CH独立于ZFC只是说明我们对集合论宇宙的认识还不够多，并不代表CH没有真值。

去年上数理逻辑课时，教授要我们写写对柏拉图主义的看法。我找不到当时的作业纸了（好像是因为交上去就没发下来），但依稀记得当时写了很多较悲观的想法。对于柏拉图主义倡导的那种“数学实在”，我不置可否。我的世界观总体上是唯物的，如果有人声称“集合论宇宙”是实在的，那我大概会问：它在哪？如果从一种物理实在的观点来看，我们甚至看不到无穷集合。如果世界本质上是有穷的，那么声称这种实在无异于声称它独立于物理世界之外，这将导致我们很容易陷入客观唯心主义的陷阱。

另一方面，我强烈的感觉到，即使数学对象真的是实在的，那很大程度上它（无穷）也是不可知的。我们的手段是如此的有限，以至于现有的任何数学研究都不暗示连续统的真值。就好像这个集合论宇宙有意隐瞒这方面的特性，或者说我们的宇宙确实不能决定自己位于哪一个集合论宇宙中。

这种悲观甚至使我产生了有穷主义者的观点，也就是“实无穷”是不存在的，自然数集对我们来说太大了，要求将它看成一个“完成了”的整体来处理是不合理的，我们至多能够谈论“潜在的”无穷。而那些更大的无穷，只是一种说话的方式，或者符号的游戏（形式主义者）。正如康托尔最严厉的反对者、一度让他陷入精神衰弱的克罗内克所宣扬的那样。但这些观点也都有自己的缺陷，比如如果没有实无穷，那么实数的概念就只能停留在直观里，永远不能严谨的落地。而且历史也表明，这种观点对数学来说无异于作茧自缚。

我想很多接触集合论的人都或多或少被那些越来越大的基数概念所吸引，我有一段时间也特别喜欢大基数，但是在后来的学习中逐渐脱离了对它存粹的崇拜，反而会更多地关注他们提出来的背景和应用场景，那种为了大而大的想法使我感到不安。我意识到无穷是很难把握的一种东西，可以想象，关于无穷的性质应该也是无穷的（甚至可能是比它自身还大），而人类能够把握到的那些性质，他们至多也只是一个递归可枚举的集合，也就是说我们可能永远也不能完全了解无穷。

相比于集合论给我带来的那种强烈的不可知的感觉，递归论让我舒服很多。虽然有时候也会怀疑图灵机在越来越大的数字上停机是否有意义。但总体上它是我们能把握到的能行过程的极限。递归论是一门非常看重构造性方法的学科，许多在学集合论时不熟悉的构造方法，在学了递归论后都能快速上手。

递归论总体来说试图刻画什么是“可计算”概念，历史上有很多人提出了很多种刻画，递归函数就是其中一种，是哥德尔的不完备性定理的副产品，其余的还有λ 演算，图灵可计算函数。哥德尔本人一直不太相信前两种刻画定义了所有可计算函数，直到图灵机的出现以及证实了这几种方法本质上是等价的。这也导致了现在人们对什么是“能行可计算”几乎没有任何异议，这体现在一个几乎被递归论学家滥用的论题中：丘奇-图灵论题，即认为：任何直观上能行可计算的函数都是图灵机可计算的。

从本质上来说图灵机是利用有穷处理无穷的极限，那些被我们称之为递归集的自然数的子集，构成了一阶算数的Δ⁰₁ 复杂度层次；而那些称之为递归可枚举集的集类，构成了 Σ⁰₁ 层次，到此为止便是算法的极限了。从此也能体会到我们人类有多么渺小，对于更复杂的自然数的子集 Π⁰₁，Π⁰₂，Π⁰₂，· · ·，Σ⁰ₙ₊₁，Π⁰ₙ₊₁，· · ·，我们几乎无能为力，更不论那些无法用一阶算数定义的自然数子集了。

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